Тапсырмалар № 1, 14 · ЕГЭ

Основное тригонометрическое тождество

Связь между синусом и косинусом бір и того же угла

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Основное тригонометрическое тождество — это равенство, связывающее квадрат синуса и квадрат косинуса одного и того же угла: их сумма всегда равна единице.

Для любого угла \(\alpha\) выполняется равенство \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Это тождество дұрыс при любых допустимых значениях угла и является одним из основных результатов тригонометрических тождеств. Понять его геометрически помогает тригонометрическая окружность.

Формула и следствия

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

Из основного тождества можно выразить квадрат одной функции через другую:

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha,\qquad \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\]

Если нужно найти сам синус или косинус, извлекают квадратный корень, поэтому появляется знак \(\pm\):

\[\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha},\qquad \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\]

Знак выбирают с учётом четверти, в которой находится угол, или другого условия задачи. Также из тождества следуют оценки \(|\sin\alpha|\le1\) и \(|\cos\alpha|\le1\).

№

Пример

Пусть \(\cos\alpha=\frac{3}{5}\), а угол \(\alpha\) — острый. Тогда \(\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\). Так как синус острого угла положителен, \(\sin\alpha=\frac{4}{5}\).

Не перепутайте

Основное тождество содержит квадраты функций: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Қате записывать \(\sin\alpha+\cos\alpha=1\). Кроме того, при извлечении корня нельзя автоматически выбирать плюс: знак зависит от угла.

Проверьте себя

Если \(\sin\alpha=\frac{5}{13}\) и угол острый, чему равен \(\cos\alpha\)?

Главное за минуту

Главное

\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\).
Из тождества выражают квадрат синуса или косинуса; при извлечении корня знак выбирают по условию.
Синус и косинус бір угла по модулю не превосходят единицы.