Задание № 10 · ЕГЭ

Пространственная ломаная

Определение, виды и длина ломаной в пространстве

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Пространственная ломаная — это последовательность отрезков, соединённых концами и расположенных в пространстве; её длина равна сумме длин всех звеньев.

Пространственной ломаной называют фигуру, состоящую из последовательно соединённых отрезков \(A_1A_2\), \(A_2A_3\), …, \(A_{n-1}A_n\), причём соседние звенья не лежат на одной прямой, а вся ломаная не содержится в одной плоскости. Точки \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) называют вершинами, а отрезки — звеньями ломаной. Точки \(A_1\) и \(A_n\) — её концы.

В отличие от плоской ломаной, которую можно целиком расположить в одной плоскости, пространственная ломаная выходит за пределы любой одной плоскости. Для понимания расположения её звеньев используют свойства точки, прямой и плоскости в пространстве. Пространственная ломаная может быть частью пространственного тела, например рёбра многогранника образуют ломаные линии.

Длина пространственной ломаной

\[L=A_1A_2+A_2A_3+\cdots+A_{n-1}A_n\]

Здесь \(L\) — длина ломаной, а каждое слагаемое — длина одного её звена. Если звенья обозначены \(l_1,l_2,\ldots,l_{n-1}\), то формулу записывают короче: \(L=l_1+l_2+\cdots+l_{n-1}\). При вычислении длины сначала находят длины отдельных звеньев, затем складывают их.

№

Пример

Ломаная \(ABCD\) имеет звенья \(AB=3\) см, \(BC=4\) см и \(CD=5\) см. Поэтому её длина равна \(L=3+4+5=12\) см.

Не путайте

Пространственная ломаная — не то же самое, что многогранная поверхность. Ломаная является линией и состоит из отрезков, а многогранная поверхность состоит из многоугольников. Также нельзя складывать расстояния между произвольными вершинами: в длину входят только последовательные звенья.

Проверьте себя

Как найти длину пространственной ломаной \(ABCD\)?

Главное за минуту

Главное

Пространственная ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков и не лежит в одной плоскости.
Вершины — точки соединения звеньев, концы — первая и последняя вершины.
Длина ломаной равна сумме длин всех её звеньев: \(L=\sum l_i\).