Проекция площади
Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на другую плоскость равна площади исходной фигуры, умноженной на косинус угла между этими плоскостями. Проекция не увеличивает площадь: при наклоне фигура «сжимается».
Для понимания удобно сначала повторить, что такое ортогональная проекция точки: это основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проекция всей фигуры строится из проекций всех её точек. В задачах угол наклона часто находят после изучения угла между прямой и плоскостью.
Здесь \(S\) — площадь исходной фигуры, \(S_{\text{пр}}\) — площадь её ортогональной проекции, а \(\alpha\) — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. Если плоскости параллельны, \(\alpha=0^\circ\) и площади равны. Если плоскости перпендикулярны, \(\alpha=90^\circ\), поэтому проекция вырождается в отрезок или точку и её площадь равна нулю.
Прямоугольник площадью \(24\ \text{см}^2\) проектируют на плоскость, образующую с его плоскостью угол \(60^\circ\). Тогда \(S_{\text{пр}}=24\cdot\cos60^\circ=24\cdot\frac12=12\ \text{см}^2\).
Угол \(\alpha\) — это угол между плоскостями, а не обязательно угол между плоскостью фигуры и какой-либо её стороной. Кроме того, площадь проекции считают не по длине проекции одного отрезка: нужно учитывать всю фигуру. Проекция отрезка — частный объект, а не сама формула площади.
Площадь фигуры равна \(18\ \text{см}^2\), а угол между её плоскостью и плоскостью проекции равен \(0^\circ\). Чему равна площадь проекции?
Главное
- Площадь ортогональной проекции вычисляют по формуле \(S_{\text{пр}}=S\cdot\cos\alpha\).
- \(\alpha\) — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции; при \(\alpha=0^\circ\) площади равны, при \(\alpha=90^\circ\) площадь проекции равна нулю.
- Проекция площади не больше исходной: \(S_{\text{пр}}\leq S\).