Задания № 8, 9 · ЕГЭ

Производная степенной функции

Правило дифференцирования степенной функции и его применение к многочленам

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Производная степенной функции показывает, как изменяется функция \(x^n\) при изменении \(x\). Для натурального числа \(n\) она находится по правилу: показатель степени становится множителем, а степень уменьшается на единицу.

Производной функции \(f(x)=x^n\), где \(n\) — постоянное число, называется функция \(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\) в тех точках, где исходная функция определена и дифференцируема. Это правило — частный случай общих производной функции и входит в таблицу производных элементарных функций.

Формула

\[\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\]

Здесь \(n\) — постоянный показатель степени. Например, \((x^5)'=5x^4\), а \((x^2)'=2x\). Для постоянной функции \(f(x)=C\) можно считать, что \(n=0\): \((x^0)'=1'=0\).

№

Пример: производная многочлена

Найдём производную функции \(f(x)=3x^4-5x^2+7x-1\). Дифференцируем каждый член отдельно: \(f'(x)=3\cdot4x^3-5\cdot2x+7=12x^3-10x+7\). Производная постоянного слагаемого \(-1\) равна нулю. Такое почленное дифференцирование основано на правилах дифференцирования.

Не путайте

Формула \((x^n)'=nx^{n-1}\) относится к переменной, стоящей в основании степени. Для показательной функции \(f(x)=n^x\) основание постоянно, а переменная находится в показателе: её производная вычисляется по другому правилу. Также при сложном выражении, например \((2x+1)^5\), нужно учитывать правило производной сложной функции.

Проверьте себя

Чему равна производная функции \(f(x)=4x^3-2x+6\)?

Главное за минуту

Главное

Для степенной функции \(x^n\) действует формула \((x^n)'=n\cdot x^{n-1}\).
Многочлен дифференцируют почленно: каждый член — по правилу производной степени.
Производная постоянного слагаемого равна нулю; выражения вида \(a^x\) и \((g(x))^n\) требуют других правил.