ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 15, 16, 17 · ЕГЭ

Последовательные скидки и наценки

Как находить итоговую цену при нескольких скидках, наценках и начислениях процентов
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Если цену изменяют несколько раз подряд, проценты нельзя просто складывать: каждое новое изменение действует уже на изменённую цену. Надёжный способ решения — заменить каждое изменение своим коэффициентом и перемножить коэффициенты.

Коэффициент изменения цены

Сначала полезно повторить коэффициент изменения. Если величина увеличилась на \(p\%\), то новая величина составляет \(100\%+p\%\) от прежней, то есть умножается на \(1+\frac{p}{100}\). Если величина уменьшилась на \(p\%\), остаётся \(100\%-p\%\), поэтому множитель равен \(1-\frac{p}{100}\).

\[k_{\text{наценка}}=1+\frac{p}{100},\qquad k_{\text{скидка}}=1-\frac{p}{100}.\]
D
Коэффициент изменения

Коэффициент показывает, во сколько раз стала равна новая цена по сравнению со старой: \(k=\frac{\text{новая цена}}{\text{старая цена}}\). Если \(k>1\), цена выросла; если \(0<k<1\), цена снизилась.

Например, наценка на \(15\%\) задаётся коэффициентом \(1{,}15\), а скидка \(20\%\) — коэффициентом \(0{,}8\). Страница последовательные процентные изменения подробно объясняет эту общую идею для любых величин.

Произведение коэффициентов

Пусть начальная цена равна \(S\). После первого изменения она станет \(S\cdot k_1\), после второго — \(S\cdot k_1\cdot k_2\). Поэтому при нескольких изменениях итоговая цена находится одним произведением.

\[S_{\text{итог}}=S\cdot k_1\cdot k_2\cdot\ldots\cdot k_n.\]
T
Правило последовательных изменений

Чтобы найти итоговую цену, выразите каждую скидку или наценку коэффициентом и перемножьте эти коэффициенты с начальной ценой. Порядок умножения не влияет на результат, но смысл каждого коэффициента нужно определить правильно.

Если сначала цена увеличилась на \(a\%\), а затем уменьшилась на \(b\%\), то общий коэффициент равен \((1+\frac{a}{100})(1-\frac{b}{100})\). Он обычно не равен \(1+\frac{a-b}{100}\), потому что вторая операция применяется не к начальной, а к уже изменённой цене.

\[k_{\text{общ}}=\left(1+\frac{a}{100}\right)\left(1-\frac{b}{100}\right).\]

Например, наценка \(20\%\), а затем скидка \(20\%\) дают коэффициент \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\). Значит, итоговая цена составляет \(96\%\) начальной, то есть уменьшилась на \(4\%\), а не вернулась к исходной.

Алгоритм решения текстовой задачи

  1. Обозначьте начальную цену или найдите её из условия.
  2. Для каждого изменения определите знак: наценка увеличивает цену, скидка уменьшает её.
  3. Запишите коэффициенты: \(1+\frac{p}{100}\) для увеличения и \(1-\frac{p}{100}\) для уменьшения.
  4. Перемножьте начальную цену и все коэффициенты.
  5. Если требуется процент общего изменения, сравните итоговую и начальную цены.
\[p_{\text{общ}}=\left(\frac{S_{\text{итог}}}{S}-1\right)\cdot100\%.\]

В задачах на цену после скидки и цену после наценки достаточно одного коэффициента. Здесь эти приёмы соединяются в одну цепочку.

Микропроверка

Товар подорожал на \(25\%\), а затем подешевел на \(20\%\). Какой общий коэффициент изменения?

Разобранный пример: две скидки и последующая наценка

Цена ноутбука была \(80\,000\) рублей. В магазине сначала сделали скидку \(15\%\), затем дополнительную скидку \(10\%\). После этого цену увеличили на \(5\%\). Найдём итоговую цену и общий процент изменения.

№
Решение по коэффициентам

Коэффициенты трёх операций: \(0{,}85\), \(0{,}9\) и \(1{,}05\). Поэтому итоговая цена равна \(80\,000\cdot0{,}85\cdot0{,}9\cdot1{,}05\).

1
Первая скидка уменьшает цену до \(85\%\) начальной.
\(\displaystyle S_1=80\,000\cdot(1-0{,}15)=80\,000\cdot0{,}85=68\,000\)
2
Вторая скидка применяется уже к цене \(68\,000\), а не к \(80\,000\).
\(\displaystyle S_2=68\,000\cdot(1-0{,}10)=68\,000\cdot0{,}9=61\,200\)
3
Наценка увеличивает последнюю полученную цену на \(5\%\).
\(\displaystyle S_3=61\,200\cdot(1+0{,}05)=61\,200\cdot1{,}05=64\,260\)
4
Сравниваем итоговую цену с начальной, чтобы найти общее изменение.
\(\displaystyle p_{\text{общ}}=\left(\frac{64\,260}{80\,000}-1\right)\cdot100\%=-19{,}675\%\)

Ответ: итоговая цена равна \(64\,260\) рублей. Она уменьшилась примерно на \(19{,}7\%\). Обратите внимание: нельзя было сложить изменения как \(-15\%-10\%+5\%=-20\%\), потому что скидки применялись последовательно.

Обратные задачи и кредиты

Иногда известна конечная цена, а начальную нужно восстановить. Тогда произведение коэффициентов делит конечную цену: \(S=\frac{S_{\text{итог}}}{k_1k_2\ldots k_n}\). Это частный случай обратной задачи о цене.

\[S_{\text{нач}}=\frac{S_{\text{итог}}}{\prod_{i=1}^{n}k_i}.\]

Та же модель используется в задачах про кредиты. Если долг увеличивается на процент за каждый период и платежей нет, долг после \(n\) периодов равен \(S(1+r)^n\), где \(r\) — ставка за один период в долях единицы. Это связано с процентной ставкой и периодом начисления процентов. Если проценты прибавляются к долгу и в следующем периоде начисляются уже на увеличенную сумму, происходит капитализация процентов.

\[D_n=D_0(1+r)^n.\]

В кредитных задачах важно отличать изменение долга от платежа. Если после начисления процентов внесли фиксированную сумму \(A\), переход к следующему периоду может иметь вид \(D_{i+1}=D_i(1+r)-A\). Здесь уже нельзя заменить всю задачу одной степенью: нужно учитывать каждый платёж.

Частые ошибки

!
Не складывайте последовательные проценты

Скидка \(20\%\), затем скидка \(10\%\) — это не скидка \(30\%\). Общий коэффициент равен \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\), то есть общая скидка составляет \(28\%\).

!
Не применяйте второй процент к начальной цене

После первого изменения новая цена становится базой для следующего. В записи должна появиться цепочка умножений: \(S\cdot k_1\cdot k_2\), а не \(S\cdot(1\pm p_1/100\pm p_2/100)\).

!
Не путайте проценты и процентные пункты

Рост ставки с \(6\%\) до \(8\%\) — это увеличение на \(2\) процентных пункта, но относительный рост равен \(\frac{8-6}{6}\cdot100\%=33\frac{1}{3}\%\).

Быстрая проверка здравого смысла

Скидка должна дать коэффициент меньше \(1\), наценка — больше \(1\). Если все операции вместе дают коэффициент \(0{,}72\), итоговая цена должна быть на \(28\%\) меньше начальной.

Quick-test

Q
Быстрый тест по теме

Проверьте себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · одна наценка
Цена \(5000\) рублей увеличилась на \(12\%\). Какова новая цена?
Главное за минуту

Главное

  • Любую наценку \(p\%\) заменяйте коэффициентом \(1+\frac{p}{100}\), а скидку — коэффициентом \(1-\frac{p}{100}\).
  • При последовательных изменениях коэффициенты перемножаются: \(S_{\text{итог}}=S\cdot k_1\cdot\ldots\cdot k_n\).
  • Для обратной задачи конечную цену делят на произведение коэффициентов.
  • Общий процент изменения находят сравнением итоговой и начальной цен: \(\left(\frac{S_{\text{итог}}}{S}-1\right)\cdot100\%\).
  • В кредитах проценты за несколько периодов образуют степень, если начисления капитализируются и платежей нет.