Последовательные скидки и наценки
Если цену изменяют несколько раз подряд, проценты нельзя просто складывать: каждое новое изменение действует уже на изменённую цену. Надёжный способ решения — заменить каждое изменение своим коэффициентом и перемножить коэффициенты.
Коэффициент изменения цены
Сначала полезно повторить коэффициент изменения. Если величина увеличилась на \(p\%\), то новая величина составляет \(100\%+p\%\) от прежней, то есть умножается на \(1+\frac{p}{100}\). Если величина уменьшилась на \(p\%\), остаётся \(100\%-p\%\), поэтому множитель равен \(1-\frac{p}{100}\).
Коэффициент показывает, во сколько раз стала равна новая цена по сравнению со старой: \(k=\frac{\text{новая цена}}{\text{старая цена}}\). Если \(k>1\), цена выросла; если \(0<k<1\), цена снизилась.
Например, наценка на \(15\%\) задаётся коэффициентом \(1{,}15\), а скидка \(20\%\) — коэффициентом \(0{,}8\). Бет последовательные процентные изменения подробно объясняет эту общую идею для любых величин.
Произведение коэффициентов
Пусть начальная цена равна \(S\). После первого изменения она станет \(S\cdot k_1\), после второго — \(S\cdot k_1\cdot k_2\). Поэтому при нескольких изменениях итоговая цена находится одним произведением.
Чтобы найти итоговую цену, выразите каждую скидку или наценку коэффициентом и перемножьте эти коэффициенты с начальной ценой. Порядок умножения не влияет на результат, но смысл каждого коэффициента нужно определить правильно.
Если сначала цена увеличилась на \(a\%\), а затем уменьшилась на \(b\%\), то общий коэффициент равен \((1+\frac{a}{100})(1-\frac{b}{100})\). Он обычно не равен \(1+\frac{a-b}{100}\), потому что вторая операция применяется не к начальной, а к уже изменённой цене.
Например, наценка \(20\%\), а затем скидка \(20\%\) дают коэффициент \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\). Значит, итоговая цена составляет \(96\%\) начальной, то есть уменьшилась на \(4\%\), а не вернулась к исходной.
Алгоритм шешімдер текстовой тапсырма
- Обозначьте начальную цену или найдите её из условия.
- Для каждого изменения определите знак: наценка увеличивает цену, скидка уменьшает её.
- Запишите коэффициенты: \(1+\frac{p}{100}\) для увеличения и \(1-\frac{p}{100}\) для уменьшения.
- Перемножьте начальную цену и все коэффициенты.
- Если требуется процент общего изменения, сравните итоговую и начальную цены.
В задачах на цену после скидки и цену после наценки достаточно бір коэффициента. Здесь эти приёмы соединяются в одну цепочку.
Товар подорожал на \(25\%\), а затем подешевел на \(20\%\). Какой общий коэффициент изменения?
Разобранный пример: две скидки и последующая наценка
Цена ноутбука была \(80\,000\) рублей. В магазине сначала сделали скидку \(15\%\), затем дополнительную скидку \(10\%\). После этого цену увеличили на \(5\%\). Найдём итоговую цену и общий процент изменения.
Коэффициенты трёх операций: \(0{,}85\), \(0{,}9\) и \(1{,}05\). Поэтому итоговая цена равна \(80\,000\cdot0{,}85\cdot0{,}9\cdot1{,}05\).
Жауабы: итоговая цена равна \(64\,260\) рублей. Она уменьшилась примерно на \(19{,}7\%\). Обратите внимание: нельзя было сложить изменения как \(-15\%-10\%+5\%=-20\%\), потому что скидки применялись последовательно.
Обратные тапсырма и кредиты
Иногда известна конечная цена, а начальную нужно восстановить. Тогда произведение коэффициентов делит конечную цену: \(S=\frac{S_{\text{итог}}}{k_1k_2\ldots k_n}\). Это частный случай обратной тапсырма о цене.
Та же модель используется в задачах про кредиты. Если долг увеличивается на процент за каждый период и платежей нет, долг после \(n\) периодов равен \(S(1+r)^n\), где \(r\) — ставка за один период в долях единицы. Это связано с процентной ставкой и периодом начисления процентов. Если проценты прибавляются к долгу и в следующем периоде начисляются уже на увеличенную сумму, происходит капитализация процентов.
В кредитных задачах важно отличать изменение долга от платежа. Если после начисления процентов внесли фиксированную сумму \(A\), переход к следующему периоду может иметь вид \(D_{i+1}=D_i(1+r)-A\). Здесь уже нельзя заменить всю тапсырманы одной степенью: нужно учитывать каждый платёж.
Частые ошибки
Скидка \(20\%\), затем скидка \(10\%\) — это не скидка \(30\%\). Общий коэффициент равен \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\), то есть общая скидка составляет \(28\%\).
После первого изменения новая цена становится базой для следующего. В записи должна появиться цепочка умножений: \(S\cdot k_1\cdot k_2\), а не \(S\cdot(1\pm p_1/100\pm p_2/100)\).
Рост ставки с \(6\%\) до \(8\%\) — это увеличение на \(2\) процентных пункта, но относительный рост равен \(\frac{8-6}{6}\cdot100\%=33\frac{1}{3}\%\).
Скидка должна дать коэффициент меньше \(1\), наценка — больше \(1\). Если все операции вместе дают коэффициент \(0{,}72\), итоговая цена должна быть на \(28\%\) меньше начальной.
Quick-test
Проверьте себя
Главное
- Любую наценку \(p\%\) заменяйте коэффициентом \(1+\frac{p}{100}\), а скидку — коэффициентом \(1-\frac{p}{100}\).
- При последовательных изменениях коэффициенты перемножаются: \(S_{\text{итог}}=S\cdot k_1\cdot\ldots\cdot k_n\).
- Для обратной тапсырма конечную цену делят на произведение коэффициентов.
- Общий процент изменения находят сравнением итоговой и начальной цен: \(\left(\frac{S_{\text{итог}}}{S}-1\right)\cdot100\%\).
- В кредитах проценты за несколько периодов образуют степень, если начисления капитализируются и платежей нет.