Сумма внешних углов многоугольника
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, если у каждой вершины взят по одному внешнему углу в одном направлении, равна \(360^\circ\). Это означает, что при обходе многоугольника его направление полностью поворачивается на один полный оборот.
Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Если внутренние углы обозначить \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\), а соответствующие внешние — \(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\), то \(\beta_i=180^\circ-\alpha_i\).
Формула
Это правило связано с суммой углов многоугольника. Действительно, сумма его внутренних углов равна \((n-2)\cdot180^\circ\), а сумма внешних углов равна \(n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ\). Для правильного многоугольника каждый внешний угол одинаков, поэтому его величина равна \(\frac{360^\circ}{n}\); это помогает находить угол правильного многоугольника.
У пятиугольника четыре внешних угла равны \(70^\circ\), \(80^\circ\), \(65^\circ\) и \(90^\circ\). Пятый угол равен \(360^\circ-(70^\circ+80^\circ+65^\circ+90^\circ)=55^\circ\).
Сумма внешних углов равна \(360^\circ\), а сумма внутренних углов зависит от числа сторон и равна \((n-2)\cdot180^\circ\). Кроме того, нельзя безоговорочно складывать произвольные внешние углы: нужно выбрать по одному углу в каждой вершине и считать повороты в одном направлении.
Чему равен неизвестный внешний угол, если остальные внешние углы выпуклого многоугольника в сумме дают \(315^\circ\)?
Главное
- У выпуклого многоугольника сумма внешних углов, взятых по одному в каждой вершине и в одном направлении, равна \(360^\circ\).
- Внешний угол и соседний внутренний угол в сумме дают \(180^\circ\).
- Для правильного \(n\)-угольника один внешний угол равен \(\frac{360^\circ}{n}\).