Задания № 9, 10, 14 · ЕГЭ

Показательные неравенства

Как учитывать основание степени при сравнении показательных выражений

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Показательное неравенство — это неравенство, в котором переменная находится в показателе степени. Его решают, сравнивая основания степеней и учитывая, возрастает или убывает показательная функция.

Показательное неравенствоНазвание связано с показателем степени — числом, записанным вверху степени.

Неравенство вида \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\), \(a^{f(x)} < a^{g(x)}\) или аналогичного, где \(a>0\), \(a\ne 1\), а переменная входит в показатель степени. При основании \(a>1\) знак неравенства сохраняется, а при \(0<a<1\) меняется на противоположный.

Основное правило

\[a>1:\quad a^{f(x)} > a^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x)>g(x);\qquad 0<a<1:\quad a^{f(x)} > a^{g(x)} \Longleftrightarrow f(x)<g(x).\]

Сначала нужно привести обе части к одной основе. Затем применяют свойство монотонности показательной функции. Если основания разные, может потребоваться сравнение степеней с разными основаниями. В более сложных примерах помогает замена переменной. Результат следует записывать в виде промежутка или объединения промежутков; полезно проверять равносильность преобразований по правилам равносильных неравенств.

№

Пример

Решим \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1}\leq\left(\frac{1}{3}\right)^5\). Основание \(\frac13\) находится между \(0\) и \(1\), поэтому знак меняется: \(2x-1\geq5\). Отсюда \(x\geq3\). Ответ: \([3;+\infty)\).

Не перепутайте

Нельзя автоматически сохранять знак. Для основания больше единицы, например \(2\), функция возрастает; для основания от \(0\) до \(1\), например \(\frac12\), она убывает. Поэтому при основании \(0<a<1\) знак обязательно меняется.

Проверьте себя

Какое неравенство равносильно \(\left(\frac15\right)^{x+2}>\left(\frac15\right)^7\)?

Главное за минуту

Главное

Показательное неравенство содержит переменную в показателе степени.
При основании \(a>1\) знак сохраняется, а при \(0<a<1\) меняется.
Перед сравнением показателей нужно привести степени к одному основанию.