Площадь полной поверхности многогранника
Площадь полной поверхности многогранника находят как сумму площадей всех его граней. Чтобы решить задачу, нужно распознать вид многогранника, определить формы граней, вычислить их площади и сложить результаты, не посчитав ни одну грань дважды.
Перед изучением темы полезно повторить, что такое многогранная поверхность, и вспомнить определение многогранника. У многогранника поверхность состоит из многоугольников — граней, соседние грани имеют общее ребро, а отрезки пересечения граней являются рёбрами.
Основное определение и общий алгоритм
Площадью полной поверхности многогранника называют сумму площадей всех его граней. Если грани имеют площади \(S_1,S_2,\ldots,S_n\), то площадь полной поверхности обозначают \(S_{\text{полн}}\) и вычисляют по формуле \(S_{\text{полн}}=S_1+S_2+\ldots+S_n\).
Удобный алгоритм решения выглядит так:
- Определите, какой это многогранник: призма, параллелепипед, пирамида или другой вид.
- Перечислите все типы граней и установите, сколько граней каждого типа.
- Запишите формулу площади каждой грани через известные величины.
- Сложите площади всех граней и приведите подобные слагаемые.
- Проверьте единицы измерения: площадь выражается в квадратных единицах.
Составьте таблицу: «тип грани — количество — площадь одной грани». Для одинаковых граней сначала найдите площадь одной, а затем умножьте на их число. Так решение становится короче и снижается риск пропуска грани.
Призма и параллелепипед
У призмы две равные и параллельные грани — основания. Остальные грани являются боковыми. Для прямой призмы боковые грани — прямоугольники, а их высота равна высоте призмы. Если \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, \(P_{\text{осн}}\) — его периметр, а \(h\) — высота, то площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту.
Для прямой призмы площадь боковой поверхности равна \(P_{\text{осн}}h\), поэтому площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности.
Эта формула применима, например, к треугольной, четырёхугольной и правильной призме, если известны площадь и периметр основания, а также высота. Для наклонной призмы боковые грани не обязаны быть прямоугольниками, поэтому формулу с высотой нужно применять осторожно: сначала следует вычислить площади боковых граней отдельно.
Прямоугольный параллелепипед имеет шесть прямоугольных граней. Если его измерения равны \(a\), \(b\) и \(c\), то имеются две грани площади \(ab\), две грани площади \(ac\) и две грани площади \(bc\).
У куба все рёбра равны \(a\), каждая из шести граней — квадрат площади \(a^2\).
У прямой призмы площадь основания равна \(12\), периметр основания — \(14\), высота — \(5\). Чему равна площадь полной поверхности?
Пирамида и другие многогранники
У пирамиды одна основа, а все остальные грани — треугольники с общей вершиной. Поэтому площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площадей всех боковых треугольников.
Для любой пирамиды \(S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\), где \(S_{\text{бок}}\) — сумма площадей боковых граней. У правильной пирамиды боковые грани равны, а их высоты, проведённые к сторонам основания, называются апофемами.
Для правильной пирамиды, у которой \(P_{\text{осн}}\) — периметр основания, а \(l\) — апофема, площадь боковой поверхности вычисляют по формуле, аналогичной формуле площади треугольника: все боковые треугольники можно объединить по их основаниям.
Не следует путать апофему с высотой пирамиды. Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а апофема является высотой боковой грани. Для нахождения апофемы иногда требуется высота пирамиды и теорема Пифагора в подходящем прямоугольном треугольнике.
Разобранный пример: площадь поверхности призмы
Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами \(6\) см и \(8\) см. Высота призмы равна \(10\) см. Найдите площадь полной поверхности.
Сначала найдём площадь треугольного основания и его периметр. Гипотенуза нужна для периметра, поэтому применим теорему Пифагора.
Ответ: \(288\text{ см}^2\). Важно, что число \(10\) в условии используется дважды по разным причинам: как гипотенуза основания и как высота призмы. Это допустимо, но величины имеют разный геометрический смысл.
1. Складывают только боковые грани и забывают основания. 2. Для призмы используют площадь одной грани вместо суммы всех одинаковых граней. 3. Подставляют в формулу длины в сантиметрах и получают ответ в \(\text{см}\) вместо \(\text{см}^2\). 4. Путают высоту прямой призмы с диагональю или боковым ребром наклонной призмы. 5. У пирамиды принимают высоту пирамиды за высоту боковой грани без доказательства.
Стратегия решения экзаменационной задачи
В задачах формата ЕГЭ часто требуется не просто применить готовую формулу, а сначала найти недостающий элемент: ребро по диагонали, высоту по теореме Пифагора, сторону основания по периметру или площадь сечения. Поэтому полезно отделять геометрическую подготовку от последнего вычисления площади поверхности.
- Сделайте схематичный рисунок и подпишите известные длины.
- Укажите все грани, которые входят в полную поверхность.
- Найдите неизвестные стороны, высоты или апофемы.
- Проверьте, что все длины приведены к одним единицам.
- После сложения площадей оцените разумность ответа: площадь не может быть отрицательной и должна иметь квадратные единицы.
Если в условии появляется диагональ параллелепипеда, её часто используют для нахождения третьего измерения по формуле пространственной диагонали. Если требуется площадь части поверхности после сечения, могут понадобиться площадь сечения параллелепипеда и периметр сечения параллелепипеда.
Кратко
- Площадь полной поверхности — сумма площадей всех граней многогранника.
- Для прямой призмы \(S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+P_{\text{осн}}h\).
- Для прямоугольного параллелепипеда \(S_{\text{полн}}=2(ab+ac+bc)\), для куба \(S_{\text{полн}}=6a^2\).
- Для пирамиды \(S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}\); у правильной пирамиды \(S_{\text{бок}}=\frac12P_{\text{осн}}l\).
- Перед вычислением перечислите грани и не путайте высоту многогранника с высотой его боковой грани.