Тапсырма № 14 · ЕГЭ

Период синуса

Основной период функции \(y=\sin x\) и период функции \(y=\sin(kx)\)

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Период синуса — это наименьшее положительное число, через которое аргумент можно сдвинуть, не изменив значение синуса. Для функции \(y=\sin x\) негізгі период равен \(2\pi\).

Период синусаСлово «период» означает повторение через определённый промежуток.

Число \(T>0\) называется периодом функции \(y=\sin x\), если для всех допустимых \(x\) выполняется равенство \(\sin(x+T)=\sin x\). Наименьший положительный период называется основным периодом. Для синуса негізгі период равен \(2\pi\).

Формула периода

Если аргумент синуса умножен на ненулевое число \(k\), то функция \(y=\sin(kx)\) изменяется быстрее или медленнее, чем \(y=\sin x\). Её негізгі период находят по формуле:

\[T=\frac{2\pi}{|k|},\qquad k\ne 0\]

Модуль нужен потому, что знак коэффициента не влияет на длину периода: графики \(\sin(kx)\) и \(\sin(-kx)\) связаны отражением, но повторяются через одинаковое расстояние по оси \(x\). Если внутри синуса стоит линейное выражение \(kx+b\), сдвиг \(b\) не влияет на период: \(T=\frac{2\pi}{|k|}\).

№

Пример

Найдём период функции \(y=\sin 3x\). Здесь \(k=3\), поэтому \(T=\frac{2\pi}{3}\). Значит, значения функции повторяются при увеличении \(x\) на \(\frac{2\pi}{3}\).

Не путайте период и амплитуду

Коэффициент перед синусом, например в \(y=5\sin x\), изменяет амплитуду — максимальное отклонение от нуля, но не период. Период меняется из-за коэффициента внутри аргумента, как в \(y=\sin 5x\). Подробнее о периодах других функций см. периоды тригонометрических функций, а о косинусе — период косинуса.

Проверьте себя

Каков негізгі период функции \(y=\sin\frac{x}{4}\)?

Главное за минуту

Главное

Основной период синуса \(y=\sin x\) равен \(2\pi\).
Для \(y=\sin(kx+b)\) период равен \(T=\frac{2\pi}{|k|}\); сдвиг \(b\) на него не влияет.
Коэффициент вне синуса меняет амплитуду, а коэффициент внутри аргумента — период.