Задание № 11 · ЕГЭ

Объём усечённого конуса

Формула объёма через радиусы оснований и высоту

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Объём усечённого конуса — это мера пространства внутри тела. Он вычисляется по радиусам двух оснований и высоте усечённого конуса.

Объём усечённого конусаТермин «объём» связан с измерением занимаемого телом пространства.

Объём усечённого конуса — число, показывающее, сколько кубических единиц содержится внутри усечённого конуса. Если радиусы его оснований равны \(R\) и \(r\), а высота равна \(h\), то объём определяется специальной формулой.

Формула

Пусть \(R\) — радиус большего основания, \(r\) — радиус меньшего основания, \(h\) — высота, то есть расстояние между плоскостями оснований. Обычно считают, что \(R\ge r\).

\[V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\]1

В формуле \(V\) обозначает объём, а \(\pi\approx3{,}14\). Все длины должны быть выражены в одних и тех же единицах, поэтому объём получится в кубических единицах: \(\text{см}^3\), \(\text{м}^3\) и так далее. Формула учитывает оба радиуса и произведение \(Rr\).

№

Пример

Пусть \(R=5\) см, \(r=3\) см, \(h=4\) см. Тогда \(V=\frac{\pi\cdot4}{3}(25+15+9)=\frac{196\pi}{3}\ \text{см}^3\). Приближённо это \(205{,}3\ \text{см}^3\).

Не перепутайте

Объём усечённого конуса не равен объёму обычного конуса с радиусом \(R\): у усечённого конуса есть два основания. Также \(h\) — это перпендикулярное расстояние между основаниями, а не длина наклонной образующей.

Проверьте себя

Как изменится объём, если все три длины \(R\), \(r\) и \(h\) увеличить в 2 раза?

Главное за минуту

Главное

Объём усечённого конуса вычисляют по формуле \(V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\).
\(R\) и \(r\) — радиусы оснований, \(h\) — перпендикулярное расстояние между ними.
Ответ записывают в кубических единицах.