Количество делителей числа
Количество делителей числа — это число всех его натуральных делителей, включая \(1\) и само число. Его можно быстро найти по Основной теореме арифметики: достаточно разложить число на простые множители и использовать показатели степеней.
Пусть разложение на простые множители имеет вид \(n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k}\), где \(p_1,p_2,\ldots,p_k\) — различные простые числа, а \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) — натуральные показатели степеней.
Формула
Каждый делитель числа \(n\) получает показатель степени при \(p_1\) от \(0\) до \(a_1\), при \(p_2\) — от \(0\) до \(a_2\) и так далее. Поэтому для каждого простого множителя есть \(a_i+1\) вариантов выбора, а общее число вариантов равно произведению.
Подробнее эта запись рассматривается в статье Формула количества делителей. Важно, чтобы разложение было каноническим: одинаковые простые множители нужно объединить в одну степень.
Найдём количество делителей числа \(360\). Его разложение: \(360=2^3\cdot3^2\cdot5^1\). Тогда \(d(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot3\cdot2=24\). Значит, у числа \(360\) ровно 24 натуральных делителя.
Количество делителей и сумма делителей — разные величины. Для \(360\) количество делителей равно \(24\), а сумма всех его делителей значительно больше. Также не следует считать только простые делители: в формуле учитываются все натуральные делители.
Сколько натуральных делителей у числа \(72=2^3\cdot3^2\)?
Главное
- Разложите число на произведение различных простых степеней.
- К каждому показателю степени прибавьте \(1\).
- Перемножьте полученные числа: результат и есть количество натуральных делителей.