Сравнение чисел
Сравнить два числа — значит определить, какое из них больше, меньше или равняется другому. Для этого используют координатную прямую, свойства знаков, сравнение разрядов, дробей и десятичных записей.
Знаки сравнения и координатная прямая
Результат сравнения записывают с помощью знаков \(>\), \(<\) или \(=\). Запись \(a>b\) читают «\(a\) больше \(b\)», а \(a<b\) — «\(a\) меньше \(b\)». Знак неравенства открытой частью обращён к большему числу: например, \(7>3\).
Сравнить числа \(a\) и \(b\) — значит установить одно из отношений: \(a<b\), \(a=b\) или \(a>b\). Два числа, для которых выполняется одно из этих отношений, называют сравнимыми.
На координатной прямой числа расположены в порядке возрастания слева направо. Поэтому точка, расположенная правее, соответствует большему числу, а точка левее — меньшему. Число \(0\) находится между отрицательными и положительными числами.
Если \(a<b\) и \(b<c\), то \(a<c\). Это свойство называют транзитивностью неравенства. Оно позволяет сравнивать числа цепочкой: \(-3<0<5\), значит, \(-3<5\).
Натуральные и целые числа
Натуральные числа \(1,2,3,\ldots\) сравнивают по количеству единиц: больше то число, в котором больше единиц. Для многозначных натуральных чисел сначала сравнивают количество цифр. Число с большим количеством цифр больше: \(879>99\).
Если количество цифр одинаково, сравнивают цифры слева направо. Первое различие определяет результат: \(538>527\), потому что сотни одинаковы, а \(3>2\). Если все соответствующие цифры совпадают, числа равны.
Для целых чисел важно учитывать знак. Любое положительное число больше нуля, ноль больше любого отрицательного числа, а из двух отрицательных больше то, которое расположено ближе к нулю: \(-2>-7\).
При сравнении отрицательных чисел знак «больше» получает число с меньшим модулем: \(-4>-9\), потому что точка \(-4\) находится правее точки \(-9\).
Какое неравенство верно?
Сравнение дробей и рациональных чисел
Рациональные числа можно представить дробями, конечными или периодическими десятичными дробями. Подробные способы записи числа разобраны на странице представлении числа. При сравнении рациональных чисел удобно сначала определить их знаки.
- Положительное число больше отрицательного, а любое отрицательное число меньше положительного.
- Два положительных числа сравнивают как обычные дроби.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
- Ноль больше отрицательного числа и меньше положительного.
Если \(b>0\), то \(\frac{a}{b}<\frac{c}{b}\) тогда и только тогда, когда \(a<c\). При одинаковых положительных знаменателях сравнивают числители.
Правило крест-накрест применяют только после того, как знаменатели сделаны положительными. Если знаменатели равны, достаточно сравнить числители. Если знаменатели разные, можно привести дроби к общему знаменателю или сравнить произведения \(ad\) и \(bc\).
Десятичные дроби сравнивают поразрядно. После запятой разрешается дописывать нули: \(0,7=0,70=0,700\). Поэтому \(0,70>0,067\): сначала сравниваются десятые доли, \(7>0\).
Чтобы сравнить дробь и десятичную дробь, переведите их к одному виду. Например, \(\frac{3}{4}=0,75\), значит, \(\frac{3}{4}>0,7\).
Разобранный пример
Сравним \(-\frac{5}{6}\) и \(-0,8\).
Ответ: \(-\frac{5}{6}<-0,8\). На прямой число \(-\frac{5}{6}\approx-0,833\) расположено левее числа \(-0,8\).
Сравнение выражений и преобразования
Иногда сравнить нужно не готовые числа, а выражения. Сначала выражения упрощают, приводят подобные слагаемые, раскрывают скобки или выполняют действия. При преобразованиях важно не менять знак неравенства без основания.
К обеим частям неравенства можно прибавить или вычесть одно и то же число — знак не меняется. При умножении или делении на положительное число знак также не меняется, а при умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
Например, из \(2x<6\) получаем \(x<3\), разделив на положительное число \(2\). А из \(-2x<6\) получаем \(x>-3\), потому что при делении на \(-2\) знак меняется.
Не сравнивайте отрицательные числа по цифрам без учёта знака: \(-12<-5\), хотя \(12>5\). Не забывайте менять знак при делении или умножении на отрицательное число. В правиле крест-накрест сначала убедитесь, что знаменатели положительны. Нельзя считать, что большая цифра после запятой всегда означает большее число: сравнивают разряды слева направо.
При работе с дробями не выполняйте недопустимое сокращение: правила сокращения и типичные ошибки собраны на странице недопустимом сокращении дроби. Если нужно упорядочить несколько рациональных чисел, полезно повторить материал страницы порядке рациональных чисел.
Быстрая проверка
Главное
- На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.
- Натуральные числа сравнивают по количеству цифр и поразрядно слева направо.
- Из отрицательных чисел больше число, расположенное ближе к нулю.
- Положительные дроби можно сравнивать крест-накрест: \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad<bc\) при положительных знаменателях.
- При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется.