Неравенство четвертой степени
Неравенство четвёртой степени — это неравенство, в котором старшая степень переменной равна четырём. Обычно его решают разложением многочлена на множители и методом интервалов, а для выражений с \(x^4\) и \(x^2\) используют замену \(t=x^2\).
Сначала переносят все слагаемые в одну часть и приводят выражение к удобному виду. Затем пытаются выполнить разложение на множители. Если многочлен содержит только чётные степени, применяют замену \(t=x^2\), причём обязательно учитывают условие \(t\ge 0\). После нахождения корней знаки выражения определяют с помощью метода интервалов.
Решим \(x^4-5x^2+4\ge 0\). Разложим на множители: \((x^2-1)(x^2-4)\ge 0\). Произведение неотрицательно, когда \(x^2\le 1\) или \(x^2\ge 4\). Поэтому ответ: \(x\in(-\infty;-2]\cup[-1;1]\cup[2;+\infty)\). Корни включены, потому что знак неравенства нестрогий.
Не следует сразу считать неравенство четвёртой степени квадратным относительно \(x\): замена \(t=x^2\) допустима только тогда, когда выражение действительно содержит лишь \(x^4\), \(x^2\) и свободный член. Кроме того, после решения относительно \(t\) нужно сохранить только \(t\ge 0\) и правильно вернуться к переменной \(x\).
Какое дополнительное условие появляется при замене \(t=x^2\)?
Главное
- Неравенство четвёртой степени имеет многочлен степени четыре.
- Основные приёмы — разложение на множители и замена \(t=x^2\) для чётных степеней.
- После нахождения корней используют метод интервалов и учитывают знак неравенства.