ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 8, 9 · ЕГЭ

Промежутки монотонности

Как определить, где функция возрастает и убывает по производной
2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Промежутки монотонности — это промежутки области определения функции, на которых она всё время возрастает или всё время убывает. Их находят по знаку производной: положительная производная означает возрастание, отрицательная — убывание.

Промежутки монотонности
Промежуток называется промежутком возрастания функции \(f(x)\), если для любых \(x_1<x_2\) из этого промежутка выполняется \(f(x_1)<f(x_2)\). Промежуток называется промежутком убывания, если \(f(x_1)>f(x_2)\). Для дифференцируемой функции знак производной помогает определить эти промежутки: при \(f'(x)>0\) функция возрастает, а при \(f'(x)<0\) — убывает.

Как находить промежутки

  1. Іздеу область определения функции.
  2. Вычислить производную \(f'(x)\).
  3. Іздеу точки, в которых \(f'(x)=0\) или производная не существует. Такие точки называют критическими точками.
  4. Разбить область определения этими точками на промежутки и определить знак производной на каждом из них.
  5. Записать ответ: при плюсе — промежуток возрастания, при минусе — промежуток убывания.
\[f'(x)>0\ \Longrightarrow\ f(x)\ \text{возрастает};\qquad f'(x)<0\ \Longrightarrow\ f(x)\ \text{убывает}.\]
№
Пример

Рассмотрим \(f(x)=x^2-4x\). Тогда \(f'(x)=2x-4=2(x-2)\). Производная отрицательна при \(x<2\) и положительна при \(x>2\). Значит, функция убывает на \((-\infty;2)\) и возрастает на \((2;+\infty)\). Знак производной и полученные промежутки обычно оформляют в ходе исследования функции по производной.

!
Не путайте

Точка, где \(f'(x)=0\), сама по себе не является промежутком монотонности и не гарантирует экстремум. Например, у функции \(f(x)=x^3\) производная равна нулю при \(x=0\), но функция возрастает слева и справа от этой точки. Для вывода об экстремуме нужно исследовать изменение знака производной.

Проверьте себя

Функция имеет производную \(f'(x)=3-2x\). Где она возрастает?

Главное за минуту

Главное

  • Положительная производная соответствует возрастанию функции, отрицательная — убыванию.
  • Для поиска промежутков составляют производную, находят критические точки и исследуют знак производной на полученных промежутках.
  • Нулевая производная в отдельной точке не всегда означает экстремум.