Коэффициент и степень одночлена
Одночлен удобно представлять как произведение числового множителя и степеней переменных. В этой записи коэффициент показывает числовую часть одночлена, а степень одночлена определяется показателями степеней переменных. Эти навыки нужны, чтобы уверенно выполнять задания на стандартную запись выражений и находить коэффициент при переменной.
Что такое одночлен
Коэффициент и степень рассматриваются у одночлена — произведения чисел, переменных и их натуральных или нулевых степеней. Например, \(-7a^2b\), \(3x\), \(\frac{1}{2}m^4n^2\) — одночлены. Сумма или разность нескольких одночленов одночленом не является: \(x+2\), \(a^2-b^2\) и \(5x^2+3x\) — это уже алгебраические выражения с несколькими членами.
Одночлен — это произведение числового множителя и степеней переменных. Одночлен записывают в стандартном виде: сначала ставят коэффициент, затем переменные в выбранном порядке, причём каждая переменная записывается только один раз.
При приведении к стандартному виду перемножают числовые множители и используют правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются. Например, \(2a^3\cdot(-4a^2b)=-8a^5b\).
Если одинаковые переменные встречаются несколько раз, их объединяют. Переменные с разными буквами не перемножаются в один показатель: \(x^2y^3\) остаётся произведением \(x^2\) и \(y^3\).
Коэффициент одночлена
Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартной записи. В одночлене \(-5x^3y^2\) коэффициент равен \(-5\), а буквенная часть — \(x^3y^2\). В одночлене \(\frac{7}{9}ab^4\) коэффициент равен \(\frac{7}{9}\).
Чтобы найти коэффициент одночлена, приведите его к стандартному виду и выделите числовой множитель. Если число перед буквенной частью не записано, коэффициент равен \(1\). Если перед буквенной частью стоит знак «минус» без числа, коэффициент равен \(-1\).
Например, в \(x^6\) коэффициент равен \(1\), а в \(-ab^2\) — \(-1\). Нельзя путать коэффициент с показателем степени: в \(8x^4\) коэффициент — \(8\), а показатель степени переменной \(x\) — \(4\).
В выражении \(12x^2-7x+3\) коэффициент при \(x^2\) равен \(12\), а коэффициент при \(x\) равен \(-7\). Число \(3\) не имеет переменной части и является свободным членом, а не коэффициентом при \(x\).
Степень одночлена
[[degree-of-monomial:Степень одночлена]] — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Для одночлена с одной переменной степень совпадает с её показателем. Например, степень \(-6x^5\) равна \(5\).
Если одночлен имеет вид \(a\,x_1^{n_1}x_2^{n_2}\ldots x_k^{n_k}\), где \(a\ne0\), то его степень равна сумме показателей: \(n_1+n_2+\ldots+n_k\). Числовой коэффициент на степень одночлена не влияет.
Например, степень одночлена \(4a^2b^3c\) равна \(2+3+1=6\). У переменной, записанной без показателя, подразумевается показатель \(1\): \(c=c^1\). Нулевая степень также учитывается по правилам степеней: \(x^0=1\), поэтому переменная с показателем \(0\) обычно не записывается.
Каковы коэффициент и степень одночлена \(-3x^2y^4\)?
Стандартная запись и преобразование
Чтобы определить коэффициент и степень, сначала приведите одночлен к стандартному виду. Для этого перемножьте числа, сгруппируйте одинаковые переменные и сложите их показатели. Если есть несколько числовых множителей, их произведение образует новый коэффициент.
Найдём коэффициент и степень одночлена \(-2x^4\cdot3xy^2\). Сначала перемножаем числа: \(-2\cdot3=-6\). Затем объединяем одинаковые переменные: \(x^4\cdot x=x^5\). Получаем стандартную запись \(-6x^5y^2\). Коэффициент равен \(-6\), степень равна \(5+2=7\).
Если в выражении встречается дробь, дробь также является числовым коэффициентом. Например, \(\frac{3}{5}a^2\cdot10a=6a^3\): коэффициент равен \(6\), степень — \(3\).
Особые случаи и связь с многочленами
Число без переменных, например \(-8\) или \(\frac{2}{3}\), является постоянным одночленом. Его степень равна \(0\), потому что число можно записать как \(-8x^0\) при любом ненулевом \(x\). Нулевой одночлен \(0\) рассматривается отдельно: его коэффициент равен \(0\), а степень в школьных задачах обычно не определяется.
1. Не путайте коэффициент и степень: в \(-9a^3b^2\) коэффициент \(-9\), степень \(5\).<br>2. Не складывайте коэффициент с показателями: выражение \(4x^2y\) имеет степень \(3\), а не \(7\).<br>3. Не забывайте невидимый показатель \(1\): в \(ab^4\) степень равна \(1+4=5\).<br>4. Знак «минус» входит в коэффициент: коэффициент одночлена \(-x^2\) равен \(-1\).<br>5. Сначала приводите произведение к стандартному виду, затем находите коэффициент и степень.
В [[polynomial-terms:многочлене]] каждый одночлен имеет свой коэффициент и свою степень. Например, в \(3x^4-2x^2+x-7\) коэффициенты членов равны \(3\), \(-2\), \(1\) и \(-7\). Степень всего многочлена определяется иначе: она равна наибольшей степени его ненулевого члена.
Для любого задания действуйте так: 1) раскройте произведение числовых множителей; 2) объедините одинаковые переменные; 3) запишите стандартную форму; 4) прочитайте коэффициент; 5) сложите все показатели степеней.
Тренировка перед экзаменом
В заданиях ОГЭ и ЕГЭ может потребоваться выбрать коэффициент, степень или стандартную запись одночлена. Проверяйте не только вычисления, но и знак ответа. Если требуется коэффициент при конкретной переменной в многочлене, ищите именно член с этой переменной и учитывайте его знак.
Проверь себя
Главное
- Одночлен записывают как произведение коэффициента и степеней переменных.
- Коэффициент — числовой множитель вместе со знаком; если число не записано, коэффициент равен \(1\) или \(-1\).
- Степень одночлена равна сумме показателей всех переменных.
- Перед ответом приводите произведение к стандартному виду.
- В многочлене коэффициент при переменной ищут у соответствующего одночлена и обязательно учитывают его знак.