Задание № 6 · ЕГЭ

Модуль больше числа

Как решить неравенство с модулем вида \(|x|>a\)

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Неравенство \(|x|>a\) означает: расстояние от числа \(x\) до нуля больше \(a\). При \(a>0\) его решение состоит из двух промежутков: \(x<-a\) или \(x>a\).

Модуль больше числа

Неравенство \(|x|>a\) — это неравенство, в котором модуль числа \(x\) сравнивается с числом \(a\). Если \(a>0\), нужно выбрать числа, удалённые от нуля дальше, чем \(a\): слева от \(-a\) или справа от \(a\). Такое правило является частью неравенств с модулями.

Правило решения

Сначала проверьте значение правой части. При \(a>0\) раскройте модуль как двойное неравенство с союзом «или»: число \(x\) меньше \(-a\) либо больше \(a\). Граничные точки \(-a\) и \(a\) не входят в ответ, потому что исходный знак строгий: \(>\). Поэтому используются круглые скобки.

\[|x|>a\quad\Longleftrightarrow\quad x<-a\ \text{или}\ x>a\qquad (a>0)\]

Если \(a=0\), получаем \(|x|>0\), то есть \(x\ne0\). Если \(a<0\), неравенство верно при любом действительном \(x\), потому что модуль неотрицателен и не может быть меньше отрицательного числа.

№

Пример

Решим \(|x|>3\). По правилу: \(x<-3\) или \(x>3\). Ответ: \((-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\). Числа \(-3\) и \(3\) не включаются: при них \(|x|=3\), а не больше 3.

Не перепутайте знак

Для модуля меньше числа получается один промежуток между границами: \(|x|<a\Longleftrightarrow -a<x<a\). При знаке \(>\) решение, наоборот, находится вне промежутка: левее \(-a\) или правее \(a\).

Проверь себя

Как записать решение неравенства \(|x|>5\)?

Главное за минуту

Главное

При \(a>0\): \(|x|>a\Longleftrightarrow x<-a\) или \(x>a\).
Решение записывают объединением двух промежутков вне отрезка \([-a;a]\).
Граничные точки не входят в ответ; при \(a=0\) исключается только ноль.