Метод интервалов для кратных корней
Метод интервалов помогает определить, где произведение или дробь положительны либо отрицательны. Главный приём этой страницы: корень нечётной кратности меняет знак выражения при переходе через него, а корень чётной кратности знак сохраняет.
Что такое кратный корень
Пусть выражение разложено на множители. Если множитель \((x-a)\) встречается \(k\) раз, то число \(a\) называют корнем кратности \(k\). Например, в выражении \((x-2)^3(x+1)^2\) корень \(x=2\) имеет кратность \(3\), а корень \(x=-1\) — кратность \(2\).
Число \(a\) — корень кратности \(k\), если выражение содержит множитель \((x-a)^k\), но не содержит множитель \((x-a)^{k+1}\). Кратность показывает, сколько раз корень повторяется в разложении на множители.
Перед построением знаковой прямой полезно привести выражение к произведению множителей. Это продолжение темы кратности корня и применение метода интервалов. Для дробно-рациональных выражений отдельно отмечают нули числителя и нули знаменателя: последние не входят в область допустимых значений.
Как кратность влияет на знак
Рассмотрим множитель \((x-a)^k\). При переходе через точку \(a\) знак числа \(x-a\) меняется: слева от \(a\) множитель отрицателен, справа положителен. Поэтому всё зависит от показателя \(k\).
| Кратность корня | Что происходит со знаком | Как выглядит график около корня |
|---|---|---|
| Нечётная: \(1,3,5,\ldots\) | Знак меняется | График пересекает ось \(Ox\) |
| Чётная: \(2,4,6,\ldots\) | Знак сохраняется | График касается оси \(Ox\) и возвращается |
При движении слева направо через корень кратности \(k\) знак выражения меняется ровно тогда, когда \(k\) нечётно. Для корня чётной кратности знак на соседних промежутках одинаков.
Если выражение имеет несколько множителей, на правой части числовой прямой находят знак каждого множителя или всего выражения. Затем идут слева направо: около корня нечётной кратности знак меняют, около корня чётной кратности оставляют прежним. Такой способ особенно удобен, когда корни уже упорядочены.
Как изменится знак выражения при переходе через корень \(x=3\) кратности \(4\)?
Алгоритм решения неравенства
Пусть требуется решить неравенство вида \(F(x)\ge 0\), где выражение разложено на множители. Действуйте в следующем порядке.
- Перенесите всё в одну часть и разложите выражение на множители.
- Найдите все корни числителя или самого выражения и определите их кратности.
- Если есть знаменатель, найдите его нули и исключите их из ответа.
- Отметьте точки на числовой прямой в возрастающем порядке.
- Определите знак на одном промежутке, обычно самом правом.
- Двигайтесь влево: около корня нечётной кратности меняйте знак, около корня чётной кратности сохраняйте.
- Выберите промежутки нужного знака. При \(≥\) или \(≤\) добавьте допустимые нули числителя; нули знаменателя не добавляйте.
На промежутке правее всех корней каждый множитель \((x-a)\) положителен. Поэтому знак произведения часто сразу определяется знаком постоянного множителя. Если выражение сложное, подставьте любое удобное число из этого промежутка.
Разобранный пример
Решим \(\frac{(x-2)^2(x+1)^3}{x-4}\ge 0\). Здесь есть корень чётной кратности \(x=2\), корень нечётной кратности \(x=-1\) и запрещённая точка \(x=4\).
В этом примере точка \(x=2\) не меняет знак, хотя является нулём выражения. Поэтому нельзя просто чередовать знаки на всех промежутках: сначала нужно учесть кратности.
1. Чередовать знаки у всех корней. Это неверно для корней чётной кратности. 2. Включать ноль знаменателя. При любом знаке неравенства такая точка запрещена. 3. Забывать о строгом знаке. В неравенствах \(>\) и \(<\) нули числителя не включают. 4. Не раскрывать кратность. Запись \((x-a)^2\) означает чётную кратность, а не два независимых перехода со сменой знака. 5. Путать корень и точку разрыва. Корень числителя может входить в ответ, ноль знаменателя — никогда.
Полезные способы проверки
Если сомневаетесь в знаке на промежутке, возьмите одну пробную точку и подставьте её в исходное выражение. Достаточно одной точки на каждом промежутке, потому что непрерывное выражение не меняет знак внутри промежутка, где нет нулей и точек разрыва.
Графическая проверка также полезна: для неравенства \(F(x)\ge0\) нужен участок графика выше или на оси \(Ox\), а для \(F(x)\le0\) — ниже или на оси. При нечётной кратности график пересекает ось, при чётной касается её. Более общие случаи разобраны на странице о кратности корня и знаке выражения.
Нечётная кратность — знак меняется. Чётная кратность — знак не меняется. Нули числителя при нестрогом неравенстве включаются, нули знаменателя исключаются всегда.
Связь с другими типами неравенств
Метод одинаков для многочленов, дробей и многих преобразованных задач. Перед применением знаковой прямой выражение нужно привести к виду произведения или дроби. Для отдельного класса задач полезно повторить неравенства четвёртой степени, а при наличии переменного знаменателя — неравенства с переменным знаменателем.
Быстрая проверка
Главное
- Кратность корня — показатель степени у множителя \((x-a)\).
- При нечётной кратности знак при переходе через корень меняется, при чётной — сохраняется.
- Нули числителя включаются только при нестрогом неравенстве.
- Нули знаменателя всегда исключаются из ответа.
- В методе интервалов сначала находят точки, затем учитывают кратности и выбирают промежутки нужного знака.