Теорема Менелая
Теорема Менелая связывает отношения отрезков, на которые прямая делит стороны треугольника или их продолжения. Она позволяет проверить, лежат ли три точки на одной прямой, и найти неизвестное отношение отрезков.
Точки \(M\), \(N\) и \(P\) могут находиться как на сторонах, так и на их продолжениях. Поэтому для уверенного применения теоремы важно соблюдать порядок букв в отношениях: \(AM\) и \(MB\), \(BN\) и \(NC\), \(CP\) и \(PA\). Теорема опирается на отношения отрезков, поэтому перед её применением полезно повторить подобие треугольников. Она относится к свойствам элементов треугольника.
Формула
Пусть \(\frac{AM}{MB}=2\) и \(\frac{BN}{NC}=3\). Тогда из теоремы Менелая \(2\cdot3\cdot\frac{CP}{PA}=-1\), поэтому \(\frac{CP}{PA}=-\frac{1}{6}\). Минус показывает, что точка \(P\) находится на продолжении стороны \(CA\), а не между \(C\) и \(A\).
Для направленных отрезков в формуле стоит \(-1\). Если работают только с обычными длинами, знак зависит от расположения точек: при пересечении одной из сторон на продолжении часто получают равенство произведения модулей отношению \(1\), но это уже требует отдельного анализа расположения.
Если \(\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}\) и \(\frac{BN}{NC}=4\), чему равно \(\frac{CP}{PA}\)?
Главное
- Прямая пересекает \(AB\), \(BC\), \(CA\) в точках \(M\), \(N\), \(P\).
- Для направленных отрезков выполняется \(\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PA}=-1\).
- Знак и порядок отрезков важны: они показывают расположение точек на сторонах или их продолжениях.