Тапсырма № 13 · ОГЭ

Наименьшее общее кратное

Определение, формула и способы вычисления НОК

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Наименьшее общее кратное (НОК) — это самое маленькое положительное число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел. НОК используют, когда нужно найти первый общий момент, общий знаменатель или число, кратное нескольким заданным числам.

Наименьшее общее кратноеСлово «кратное» связано с тем, что такое число получается умножением исходного числа на натуральное число.

Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел — это наименьшее положительное число, являющееся [[common-multiples:общим кратным]] каждого из них. Обозначение: \(\operatorname{НОК}(a,b)\) немесе \(\operatorname{lcm}(a,b)\).

Основные способы вычисления

Если числа небольшие, можно выписать их кратные по порядку и найти первое совпадение. Например, кратные 6: \(6,12,18,24,30,36,\ldots\), а кратные 8: \(8,16,24,32,\ldots\). Первое общее число — \(24\), значит, \(\operatorname{НОК}(6,8)=24\).

Для больших чисел удобнее использовать [[prime-factorization:разложение на простые множители]]. Нужно разложить каждое число, взять все простые множители, встречающиеся хотя бы в одном разложении, и выбрать для каждого наибольшую степень. Подробный алгоритм приведён на странице [[lcm-by-factorization:нахождения НОК по разложениям]].

\[\operatorname{НОК}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}\]1

Здесь \(p_i\) — простые числа, а \(\alpha_i\) и \(\beta_i\) — показатели их степеней в разложениях чисел \(a\) и \(b\).

№

Пример

Найдём НОК чисел \(12\) и \(18\). Разложения: \(12=2^2\cdot3\), \(18=2\cdot3^2\). Берём \(2^2\) и \(3^2\): \(\operatorname{НОК}(12,18)=2^2\cdot3^2=36\).

Не путайте с НОД

[[greatest-common-divisor:НОД]] — это наибольший общий делитель, а НОК — наименьшее общее кратное. НОД обычно не больше исходных чисел, тогда как НОК обычно не меньше их.

Проверь себя

Чему равен \(\operatorname{НОК}(4,10)\)?

Главное за минуту

Главное

НОК — наименьшее положительное общее кратное нескольких чисел.
НОК можно найти перебором кратных или по разложениям на простые множители.
При разложении берут каждое простое число в наибольшей степени, встречающейся среди исходных чисел.