Кратность корня и знак выражения
Кратность корня определяет, меняет ли многочлен знак при прохождении через этот корень. При нечётной кратности знак меняется, а при чётной — сохраняется.
Кратность показывает, сколько раз множитель \(x-a\) входит в разложение многочлена. Подробное определение и способы нахождения разобраны на странице кратности корня. Для анализа знака важно не само значение корня, а чётность его кратности.
Если \(k\) нечётно, множитель \((x-a)^k\) меняет знак при переходе через \(a\), поэтому и \(P(x)\) меняет знак. Если \(k\) чётно, множитель сохраняет знак, поэтому знак многочлена около корня не меняется, если \(Q(x)\) не обращается в ноль рядом с \(a\).
Рассмотрим \(P(x)=(x-2)^3(x+1)\). Корень \(x=2\) имеет кратность \(3\), то есть она нечётная: при переходе через \(2\) знак меняется. Корень \(x=-1\) имеет кратность \(1\), поэтому знак также меняется. Для \(P(x)=(x-2)^2(x+1)\) у корня \(2\) кратность \(2\): многочлен касается оси \(x\) и знак в этой точке не меняет.
Кратность корня и количество различных корней — не одно и то же. У многочлена \((x-1)^2(x+3)\) два различных корня, но корень \(1\) является двукратным. В методе интервалов для кратных корней знак около корня удобно определять именно по чётности кратности.
Как изменится знак многочлена при переходе через корень \(x=3\) кратности \(4\)?
Главное
- Кратность \(k\) — показатель степени множителя \((x-a)^k\) в разложении многочлена.
- Нечётная кратность означает смену знака, чётная — сохранение знака.
- Это правило используют при построении метода интервалов для многочлена.