Коренное уравнение
Коренное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком корня. При его решении сначала учитывают ограничения на выражения с корнями, а найденные значения обязательно проверяют в исходном уравнении.
Ограничения при работе с корнями
Для квадратного корня выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: оно не может принимать отрицательные значения. Это условие записывают как часть преобразования уравнений или как область допустимых значений (ОДЗ). Если корень находится в знаменателе, знаменатель дополнительно не должен быть равен нулю.
При возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться значения, которые удовлетворяют преобразованному уравнению, но не подходят исходному. Такие значения называют посторонними корнями. Поэтому после преобразований выполняют проверку подстановкой в исходное уравнение.
Решим \(\sqrt{x+1}=3\). Ограничение: \(x+1\ge0\). Возводим обе части в квадрат: \(x+1=9\), значит, \(x=8\). Проверка: \(\sqrt{8+1}=\sqrt9=3\). Жауабы: \(x=8\).
Коренное уравнение — это не любое уравнение с числом, полученным извлечением корня. В жазбалар \(x^2=2\) переменная не находится под знаком корня; это обычное квадратное уравнение. Уравнение с корнем в степени рассматривается отдельно: уравнение с корнем в степени. Более подробно коренные уравнения изучаются на странице иррациональные уравнения.
Какое условие необходимо для уравнения \(\sqrt{3x-6}=x\)?
Главное
- Коренное уравнение содержит неизвестную под знаком корня.
- Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным; в знаменателе — строго положительным.
- После преобразований проверяйте корни в исходном уравнении, чтобы исключить посторонние значения.