Разложение заменой переменной
Разложение заменой переменной помогает работать с многочленом, в котором одно и то же выражение повторяется несколько раз. Вместо громоздного выражения вводят новую переменную, раскладывают получившийся многочлен обычными способами, а затем возвращаются к исходному выражению.
Идея метода
Этот приём является одним из методов разложения на множители. Он особенно полезен, когда многочлен содержит, например, \(x^2\), \(x^2+1\), \(x^2-3x\) или другую одинаковую часть в нескольких слагаемых. Такая часть называется повторяющимся выражением.
Замена переменной — это введение новой переменной вместо повторяющегося выражения. Если в многочлене несколько раз встречается выражение \(A\), записывают \(t=A\), преобразуют исходный многочлен в выражение относительно \(t\), раскладывают его и в конце подставляют обратно \(A\) вместо \(t\).
Главное условие — после замены полученное выражение должно стать проще. Обычно оно превращается в квадратный трёхчлен, разность квадратов или формулу, которую можно разложить вынесением общего множителя. Поэтому перед заменой полезно проверить возможность вынесения общего множителя и другие стандартные формулы.
Если после замены \(t=A\) получено \(P(t)=Q(t)R(t)\), то исходное выражение раскладывается так: \(P(A)=Q(A)R(A)\). Переменную \(t\) нужно заменить исходным выражением во всех множителях, а не только в одном из них.
Как распознать подходящую замену
Ищите часть выражения, которая повторяется буквально или с одинаковой степенью. Например, в \(x^4-5x^2+4\) повторяется \(x^2\): \(x^4=(x^2)^2\). Значит, удобно положить \(t=x^2\). В выражении \((x^2-3x)^2+2(x^2-3x)-8\) повторяется вся скобка \(x^2-3x\), а не отдельные \(x^2\) немесе \(x\).
- Выделите повторяющееся выражение и обозначьте его новой переменной: \(t=A\).
- Выразите исходный многочлен через \(t\).
- Разложите многочлен по \(t\) известным способом.
- Верните исходное выражение вместо \(t\).
- Раскройте скобки или переставьте множители только при необходимости и проверьте результат.
При выборе замены учитывайте степень. Если встречаются \(x^6\), \(x^3\) и число, удобно взять \(t=x^3\): тогда \(x^6=t^2\). Если в выражении есть \(x^4\), \(x^2\) и постоянный член, естественный выбор — \(t=x^2\).
Какую замену удобнее всего выбрать в выражении \((2x-1)^2-7(2x-1)+10\)?
Основные случаи
Жиі кездесетіні после замены получается квадратный трёхчлен \(at^2+bt+c\). Его можно разложить подбором корней, через дискриминант или по формуле. Также встречаются разность квадратов и группировка.
Если перед старшей степенью стоит коэффициент, например \(2t^2-5t-3\), сначала раскладывают именно многочлен по \(t\): \(2t^2-5t-3=(2t+1)(t-3)\). После обратной подстановки могут появиться множители, которые уже нельзя разложить над целыми числами.
Берите не обязательно самый короткий фрагмент, а тот, который превращает все остальные части в целые степени новой переменной. Например, для \(x^8+3x^4-4\) лучше выбрать \(t=x^4\), потому что \(x^8=t^2\). Замена \(t=x^2\) тоже возможна, но выражение станет четвёртой степени по \(t\) и Шешім усложнится.
Разобранный пример
Разложим на множители выражение \(x^4-5x^2+4\). Здесь повторяются \(x^2\) и его квадрат \(x^4\), поэтому вводим \(t=x^2\).
Полное разложение: \(x^4-5x^2+4=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\). На промежуточном этапе уже получено разложение \((x^2-1)(x^2-4)\), но его можно продолжить по формуле разности квадратов.
Замена сложной скобки
Иногда повторяется не одночлен, а целая скобка. Рассмотрим выражение \((x^2-3x)^2+2(x^2-3x)-8\). Обозначим \(t=x^2-3x\). Тогда получаем \(t^2+2t-8\), которое раскладывается как \((t+4)(t-2)\). Возвращая замену, получаем \((x^2-3x+4)(x^2-3x-2)\).
Дальше стоит проверить, можно ли разложить полученные множители. Второй множитель равен \(x^2-3x-2=(x-? )\) и не раскладывается на множители с целыми корнями, поскольку его дискриминант равен \(17\). Не следует искусственно продолжать разложение.
1. Неверная степень: \(x^4\) при замене \(t=x^2\) превращается в \(t^2\), а не в \(t^4\).<br>2. Частичная обратная подстановка: если получено \((t-1)(t-4)\), нужно заменить \(t\) в обеих скобках.<br>3. Потеря скобок: при \(t=x^2-3x\) жазба \(t-2\) возвращается как \((x^2-3x)-2\), а не как \(x^2-3x-2\) без контроля знаков.<br>4. Слишком сложная замена: не выбирайте \(t=x\), если повторяется большая скобка.<br>5. Неполное разложение: после замены проверьте разность квадратов и общий множитель.
Проверка результата
Для проверки можно перемножить найденные множители и убедиться, что возвращается исходное выражение. Особенно внимательно проверяйте средний коэффициент квадратного трёхчлена. Полезно также подставить простое значение, например \(x=0\) немесе \(x=1\), если исходное выражение и результат определены.
Проверка связана с проверкой разложения на множители. Если выражение имеет симметричный вид, например содержит только чётные степени \(x\), это часто подсказывает замену \(t=x^2\); подробнее этот признак рассматривается в теме симметричного выражения.
| Исходный вид | Удобная замена | Что получается |
|---|---|---|
| \(x^4+px^2+q\) | \(t=x^2\) | \(t^2+pt+q\) |
| \((ax+b)^2+c(ax+b)+d\) | \(t=ax+b\) | \(t^2+ct+d\) |
| \(A^2-B^2\) | \(t=A\) или разложение сразу | \((A-B)(A+B)\) |
| \(x^6+px^3+q\) | \(t=x^3\) | \(t^2+pt+q\) |
Quick-test: проверь себя
4 вопроса по теме
Главное
- Замена переменной нужна, когда один и тот же фрагмент повторяется в многочлене.
- Сначала вводят \(t=A\), затем раскладывают полученный многочлен по \(t\).
- После разложения обязательно выполняют обратную подстановку во всех множителях.
- Для \(x^4+px^2+q\) обычно берут \(t=x^2\), а для \(x^6+px^3+q\) — \(t=x^3\).
- После замены проверьте результат умножением и продолжите разложение по стандартным формулам, если это возможно.