Симметричное выражение
Симметричное выражение — это выражение, значение которого не изменяется при любой перестановке его переменных. Такие выражения удобно преобразовывать через основные симметричные комбинации переменных: их сумму, попарные произведения и произведение всех переменных.
Формула и основные признаки
Для трёх переменных симметричными являются, например, \(x+y+z\), \(xy+yz+zx\) и \(xyz\). Эти выражения можно обозначить так: \(s_1=x+y+z\), \(s_2=xy+yz+zx\), \(s_3=xyz\). Многие симметричные многочлены преобразуют с помощью этих величин.
Например, [[expression-rewriting:преобразование выражения к удобному виду]] позволяет представить сумму квадратов через сумму переменных и попарные произведения: \(x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\). Это полезно при решении уравнений и задач с параметрами.
Проверим выражение \(x^2+y^2+xy\). После перестановки переменных получаем \(y^2+x^2+yx\). Так как сложение и умножение переместительны, это то же самое выражение. Значит, выражение симметрично.
Симметричность не означает, что выражение не меняется при замене каждой переменной на противоположную. Например, \(x+y\) симметрично относительно \(x\) и \(y\), но при замене \(x\to -x\), \(y\to -y\) обычно меняет знак. Такое свойство связано с чётностью, а не с перестановкой переменных.
Какое выражение симметрично относительно переменных \(x\) и \(y\)?
Главное
- Симметричное выражение не изменяется при любой перестановке переменных.
- Для двух переменных проверяют равенство \(f(x,y)=f(y,x)\).
- При преобразовании удобно использовать сумму, попарные произведения и произведение переменных.