ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырма № 9 · ЕГЭ

Алгоритм исследования функции на экстремум

Пошаговый алгоритм поиска критических точек, локальных максимумов и минимумов по знаку производной
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Исследование функции на экстремум помогает найти точки, в которых график меняет направление: возрастает функция до точки или после неё, убывает — либо наоборот. Основной инструмент — производная: сначала находят критические точки, затем проверяют изменение знака производной слева и справа.

Основные понятия

Перед исследованием функции полезно определить её область определения и выделить промежутки, на которых функция дифференцируема. Напомним, что критическая точка — это внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует, если сама функция в этой точке определена.

D
Локальный экстремум

Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(f\), если существует окрестность точки \(x_0\), в которой для всех допустимых \(x\) выполняется \(f(x)\le f(x_0)\). Точка \(x_0\) называется точкой локального минимума, если в некоторой окрестности \(f(x)\ge f(x_0)\). Значение \(f(x_0)\) называют локальным максимумом или минимумом.

T
Необходимое условие экстремума

Если функция дифференцируема в внутренней точке \(x_0\) и имеет в ней локальный экстремум, то \(f'(x_0)=0\). Однако обратное утверждение қате: равенство \(f'(x_0)=0\) ещё не гарантирует экстремум.

\[f'(x_0)=0\quad\text{или}\quad f'(x_0)\text{ не существует}\]1

Например, у функции \(f(x)=x^3\) производная в точке \(0\) равна нулю, но экстремума нет: функция возрастает и слева, и справа от нуля. Поэтому после нахождения кандидатов обязательно исследуют знак производной.

Алгоритм исследования на экстремум

Для большинства школьных тапсырма удобно использовать следующий порядок действий.

  1. Іздеу область определения функции \(D(f)\). Точки, не принадлежащие области определения, не могут быть точками локального экстремума данной функции.
  2. Іздеу производную \(f'(x)\), используя правила дифференцирования. При необходимости упростить её выражение.
  3. Іздеу критические точки: решить уравнение \(f'(x)=0\) и отдельно отметить точки области определения, где производная не существует.
  4. Разбить область определения найденными точками на промежутки.
  5. Определить знак \(f'(x)\) на каждом промежутке. Для этого выбирают по одной пробной точке или исследуют множители производной.
  6. Сделать вывод о характере каждой критической точки и вычислить значение функции в точке: \(f(x_0)\).
\[f'(x):\quad +\to-\ \Longrightarrow\ \text{локальный максимум};\qquad -\to+\ \Longrightarrow\ \text{локальный минимум}\]2
T
Признак экстремума по производной

Если при переходе через \(x_0\) производная меняет знак с плюса на минус, функция сначала возрастает, затем убывает: в \(x_0\) локальный максимум. Если знак меняется с минуса на плюс, функция сначала убывает, затем возрастает: в \(x_0\) локальный минимум. Если знак не меняется, локального экстремума нет.

Знак производной связан с промежутками монотонности: при \(f'(x)>0\) функция возрастает, а при \(f'(x)<0\) убывает. Поэтому таблица знаков производной одновременно показывает поведение функции.

Знак слеваЗнак справаВывод
+−локальный максимум
−+локальный минимум
++экстремума нет
−−экстремума нет
−2−1.5−1−0.50.511.52−3−2−1123xy0y = x³ − 3·x
График \(f(x)=x^3-3x\): максимум при \(x=-1\), минимум при \(x=1\).

Разобранный пример

№
Іздеу точки локального экстремума

Исследуем функцию \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\). Найдём критические точки и определим, где функция имеет локальный максимум и минимум.

1
Функция является многочленом, поэтому её область определения — все действительные числа.
\(\displaystyle D(f)=\mathbb{R}\)
2
Вычислим производную по правилам дифференцирования.
\(\displaystyle f'(x)=3x^2-6x-9\)
3
Разложим производную на множители и решим уравнение \(f'(x)=0\).
\(\displaystyle f'(x)=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)\)
4
Критические точки:
\(\displaystyle 3(x-3)(x+1)=0\quad\Longrightarrow\quad x_1=-1,\ x_2=3\)
5
Определим знак производной на промежутках \((-\infty,-1)\), \((-1,3)\) и \((3,+\infty)\).
\(\displaystyle f'(x):\quad +\ \big|_{-1}\ -\ \big|_{3}\ +\)
6
При переходе через \(x=-1\) знак меняется с плюса на минус, значит, это точка локального максимума. При переходе через \(x=3\) знак меняется с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.
\(\displaystyle x=-1:\ \max;\qquad x=3:\ \min\)
7
Вычислим значения функции в найденных точках.
\(\displaystyle f(-1)=-1-3+9+5=10;\qquad f(3)=27-27-27+5=-22\)

Жауабы: локальный максимум равен \(10\) и достигается при \(x=-1\); локальный минимум равен \(-22\) и достигается при \(x=3\). В виде точек графика это \((-1;10)\) и \((3;-22)\).

Проверь себя

Какой вывод следует, если знак производной при переходе через критическую точку меняется с \(-\) на \(+\)?

Особые случаи и тригонометрические функции

В задачах встречаются дробно-рациональные, коренные и тригонометрические функции. Для них особенно важно не потерять ограничения области определения. Например, для \(f(x)=\sin x\) критические точки определяются уравнением \(\cos x=0\), откуда \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\). Но характер экстремума чередуется: при \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\) достигается максимум \(1\), а при \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\) — минимум \(-1\).

\[\sin x=1\ \text{при}\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k;\qquad \sin x=-1\ \text{при}\ x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z\]

Если производная не существует в точке, но функция там определена, точку также проверяют. Например, у \(f(x)=|x|\) производная не существует при \(x=0\), однако слева функция убывает, а справа возрастает, поэтому \(x=0\) — точка локального минимума.

В задачах с параметром или с несколькими критическими точками удобно составлять таблицу знаков. Если функция периодическая, как синус или косинус, достаточно исследовать один период, а затем перенести результат с учётом периода.

Как быстрее определить знак

Если производная представлена произведением множителей, отметьте на числовой прямой нули каждого множителя и точки разрыва. Знак произведения можно определить в одном промежутке, а затем менять при переходе через корень нечётной кратности. Для квадратного множителя знак при переходе не меняется.

Частые ошибки

!
Что проверять в решении

1. Не считать каждую точку, где \(f'(x)=0\), экстремумом: нужен анализ знаков. 2. Не включать в ответ точки, не принадлежащие области определения. 3. Не путать абсциссу точки \(x_0\) со значением экстремума \(f(x_0)\). 4. Не забывать точки, где производная не существует, если функция определена. 5. Не подменять локальный экстремум наибольшим или наименьшим значением на всём промежутке: для абсолютного экстремума дополнительно проверяют границы и другие кандидаты.

Подробнее различие локального и абсолютного экстремума рассматривается на странице наибольшее и наименьшее значение функции. В некоторых задачах для проверки характера стационарной точки используют вторую производную, но в базовом алгоритме надёжнее всего таблица знаков первой производной.

Quick-test

Q
Жылдам тест по теме

Проверь алгоритм

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · алгоритм
Какой первый шаг исследования функции на экстремум?
Главное за минуту

Главное

  • Критические точки получают из условия \(f'(x)=0\) и из точек области определения, где производная не существует.
  • Локальный максимум соответствует смене знака производной с \(+\) на \(-\), локальный минимум — с \(-\) на \(+\).
  • Если знак производной не меняется, экстремума в критической точке нет.
  • Полный алгоритм: область определения, производная, критические точки, интервалы, знаки, вывод и значения функции.
  • Для тригонометрических функций учитывают период и записывают все шешімдер с параметром \(k\in\mathbb Z\).