Тапсырмалар № 1, 14 · ЕГЭ

Чётность тригонометрических функций

Как изменяются синус, косинус, тангенс и котангенс при замене аргумента на противоположный

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Чётность тригонометрической функции показывает, как меняется её значение при замене аргумента \(x\) на противоположный \(-x\). Косинус является чётной функцией, а синус, тангенс и котангенс — нечётными.

Функция называется чётной, если для каждого допустимого \(x\) выполняется \(f(-x)=f(x)\). Функция называется нечётной, если выполняется \(f(-x)=-f(x)\). Эти свойства удобно видеть на тригонометрической окружности: при переходе от угла \(x\) к углу \(-x\) точка отражается относительно оси абсцисс.

Формулы чётности

\[\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x\]

\[\tg(-x)=-\tg x,\qquad \ctg(-x)=-\ctg x\]

Таким образом, знак аргумента сохраняется только у косинуса. У остальных трёх функций знак значения меняется на противоположный. Эти равенства относятся к основным тригонометрическим тождествам. Для тангенса формула верна там, где он определён, то есть при \(\cos x\ne0\); для котангенса — при \(\sin x\ne0\).

№

Пример

Упростим выражение \(\sin(-30^\circ)+\cos(-60^\circ)\). По формулам чётности \(\sin(-30^\circ)=-\sin30^\circ=-\frac12\), а \(\cos(-60^\circ)=\cos60^\circ=\frac12\). Поэтому сумма равна \(0\).

Не путайте знак функции и знак аргумента

Нечётность не означает, что значение функции всегда отрицательно. Например, \(\sin(-30^\circ)=-\frac12\), но \(\sin(-150^\circ)=\frac12\). Формула \(\sin(-x)=-\sin x\) говорит только о связи двух противоположных аргументов. Не следует также смешивать эти равенства с формулами приведения, которые преобразуют углы с добавлением \(90^\circ\), \(180^\circ\) и других величин.

Проверьте себя

Как упростить выражение \(\tg(-x)\)?

Главное за минуту

Главное

\(\cos(-x)=\cos x\): косинус — чётная функция.
\(\sin(-x)=-\sin x\), \(\tg(-x)=-\tg x\), \(\ctg(-x)=-\ctg x\): синус, тангенс и котангенс — нечётные функции.
При преобразовании учитывайте область определения тангенса и котангенса.