Элементы многогранников
У любого многогранника можно посчитать три основных элемента: вершины, рёбра и грани. Эти числа связаны формулой Эйлера, которая помогает находить неизвестное число элементов и проверять правильность решения.
Какие элементы есть у многогранника
Сначала полезно повторить определение многогранника. Его поверхность состоит из многоугольников. Каждый такой многоугольник является гранью, стороны граней — рёбрами, а концы рёбер — вершинами.
Вершина — точка, в которой сходятся рёбра многогранника. Ребро — отрезок, общий для двух соседних граней. Грань — многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника.
Например, у куба 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней. Каждое ребро куба принадлежит ровно двум граням, а в каждой вершине сходятся три ребра. Подробнее свойства вершин и рёбер рассматриваются на страницах вершина многогранника и ребро многогранника.
На рисунке видны 8 вершин: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\), \(H\). Рёбер 12, а граней 6. Невидимые рёбра иногда изображают пунктиром, но при подсчёте их нельзя пропускать.
Подсчёт элементов по строению
Число элементов можно находить непосредственно по рисунку или по свойствам конкретного многогранника. Например, у призмы с \(n\)-угольным основанием две одинаковые грани-основания и \(n\) боковых граней. Поэтому число граней равно \(n+2\).
Каждая вершина одного основания соединяется с соответствующей вершиной другого основания. Поэтому у призмы \(2n\) вершин. Рёбер получается \(n\) в первом основании, \(n\) во втором и \(n\) боковых рёбер.
Здесь \(V\) — число вершин, \(E\) — число рёбер, \(F\) — число граней. Например, у треугольной призмы \(n=3\): \(V=6\), \(E=9\), \(F=5\). У прямой призмы применяются те же формулы подсчёта элементов, потому что они зависят от числа сторон основания, а не от наклона боковых рёбер.
Для прямоугольного параллелепипеда основание — четырёхугольник, то есть \(n=4\). Получаем \(V=8\), \(E=12\), \(F=6\). Такие же числа имеет куб, хотя его грани являются квадратами, а у произвольного параллелепипеда — параллелограммами.
Сколько граней у пятиугольной призмы?
Формула Эйлера
Для выпуклого многогранника число вершин, рёбер и граней связано простой закономерностью. Она называется формулой Эйлера. В этой теме формула особенно полезна, когда два числа известны, а третье нужно найти.
Для любого выпуклого многогранника выполняется равенство: число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум.
Из главного равенства можно выразить любой элемент.
Формула Эйлера подробно разобрана на странице формула Эйлера. Здесь важно помнить условие применимости: обычно в экзаменационных задачах речь идёт о выпуклых многогранниках без самопересечений.
В записи \(V-E+F=2\) вершины берутся со знаком «плюс», рёбра — со знаком «минус», грани — снова со знаком «плюс». Удобно запомнить порядок: вершины − рёбра + грани.
Разобранный пример
У выпуклого многогранника 12 граней, причём из каждой вершины выходит по 3 ребра. Найдите число вершин и рёбер.
Обозначим число вершин через \(V\), число рёбер через \(E\), а число граней известно: \(F=12\). Условие «из каждой вершины выходит по 3 ребра» позволяет составить дополнительное равенство.
Ответ: \(20\) вершин и \(30\) рёбер. Проверка: \(20-30+12=2\), значит формула Эйлера выполняется.
Полезные способы проверки
Если многогранник составлен из одинаковых граней, можно подсчитать рёбра двумя способами. Пусть каждая из \(F\) граней имеет \(k\) сторон. Тогда всего насчитаем \(kF\) сторон граней, но каждое ребро принадлежит двум граням. Значит,
Отсюда \(E=\frac{kF}{2}\). Например, если многогранник имеет 6 квадратных граней, то \(E=\frac{4\cdot6}{2}=12\).
Аналогично, если в каждой вершине сходится одинаковое число \(p\) рёбер, то подсчёт концов рёбер даёт \(pV=2E\). Такие равенства помогают решать задачи, где даны свойства каждой грани или каждой вершины.
1. Считать только видимые на рисунке рёбра и вершины. Невидимые элементы тоже входят в общее число. 2. При подсчёте сторон граней забывать, что каждое ребро принадлежит двум граням. 3. Путать число граней с числом сторон одной грани. 4. В формуле Эйлера менять знак перед \(E\). 5. Использовать формулу без проверки, что многогранник выпуклый и не имеет самопересечений.
Сначала выпишите обозначения \(V\), \(E\), \(F\). Затем запишите все данные, подберите дополнительное равенство по условию и только после этого применяйте \(V-E+F=2\). В конце подставьте найденные числа обратно в формулу.
Быстрый тест
Проверь себя
Главное
- Вершина — точка схода рёбер, ребро — общий отрезок двух граней, грань — многоугольник поверхности.
- Для выпуклого многогранника выполняется формула Эйлера \(V-E+F=2\).
- У \(n\)-угольной призмы: \(V=2n\), \(E=3n\), \(F=n+2\).
- Если каждая грань имеет \(k\) сторон, то \(kF=2E\); если из каждой вершины выходит \(p\) рёбер, то \(pV=2E\).
- После решения всегда полезно проверить результат подстановкой в формулу Эйлера.