Задание № 7 · ОГЭ

Двойное неравенство с модулем

Как заменить запись с двумя знаками неравенства системой ограничений

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Двойное неравенство с модулем содержит два ограничения для одного выражения, например \(2\le |x|<5\). Его сначала записывают как систему \(|x|\ge 2\) и \(|x|<5\), а затем решают каждое неравенство с модулем.

Это запись вида \(a\le |f(x)|\le b\) или с другими знаками сравнения, которая означает одновременное выполнение левого и правого ограничений: \(a\le |f(x)|\) и \(|f(x)|\le b\). После преобразования ограничения объединяют пересечением решений.

Перед решением полезно повторить правило модуля меньше числа. Для неотрицательных \(a\) и \(b\) двойное неравенство с модулем можно представить как объединение двух отрезков или промежутков: значение \(f(x)\) находится либо слева от нуля, либо справа.

\[a\le |f(x)|\le b\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}|f(x)|\ge a,\\ |f(x)|\le b\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad -b\le f(x)\le -a\ \text{или}\ a\le f(x)\le b,\quad 0\le a\le b.\]

№

Пример

Решим \(2\le |x|<5\). Разделим запись на два ограничения: \(|x|\ge2\) и \(|x|<5\). Первое даёт \(x\le-2\) или \(x\ge2\), второе — \(-5<x<5\). Пересекаем полученные множества: \(x\in(-5;-2]\cup[2;5)\). Обратите внимание: число \(2\) входит в ответ, а \(5\) — нет.

Не перепутайте

Двойное неравенство означает одновременное выполнение двух условий, то есть пересечение решений, а не их произвольное объединение. Кроме того, запись \(a\le|x|\le b\) обычно превращается в два промежутка, а не в один отрезок \([-b;b]\): нижняя граница \(a\) исключает часть около нуля.

Проверьте себя

Как записать \(3<|x|\le7\) без модуля?

Главное за минуту

Главное

Двойное неравенство с модулем означает систему из двух ограничений.
Для \(0\le a\le b\): \(a\le|f(x)|\le b\) равносильно \(-b\le f(x)\le-a\) или \(a\le f(x)\le b\).
Знаки равенства и строгие знаки переносятся точно; итоговые множества объединяются через «или».