Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикулярного отрезка, проведённого из точки к прямой. На координатной плоскости его находят по коэффициентам общего уравнения прямой.
Формула
Пусть прямая задана общим уравнением \(Ax+By+C=0\), а точка имеет координаты \(M(x_0,y_0)\). Тогда расстояние от точки до прямой вычисляют так:
Числитель получают подстановкой координат точки в левую часть уравнения прямой. Знаменатель связан с длиной вектора нормали \((A,B)\). Модуль в числителе нужен потому, что расстояние не может быть отрицательным.
Найдём расстояние от точки \(M(1;2)\) до прямой \(3x+4y-10=0\). Подставим координаты точки: \(3\cdot1+4\cdot2-10=1\). Длина вектора нормали равна \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). Поэтому \(d=\frac{|1|}{5}=\frac{1}{5}\). Точка находится на расстоянии \(\frac15\) единицы от прямой.
Расстояние от точки до прямой — не расстояние до произвольной точки этой прямой и не длина горизонтального или вертикального отрезка. Нужно брать именно перпендикуляр. Если требуется найти расстояние между двумя точками, используйте другую формулу — из страницы расстояние между точками на координатной плоскости.
Чтобы применить формулу, сначала приведите уравнение прямой к виду \(Ax+By+C=0\). Общие способы записи и преобразования рассматриваются на странице уравнение прямой на плоскости. Если точка лежит на прямой, подстановка даёт ноль, поэтому расстояние равно \(0\).
Чему равно расстояние от точки \(M(2;1)\) до прямой \(x-2y+1=0\)?
Главное
- Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра от точки к прямой.
- Для \(Ax+By+C=0\) и \(M(x_0,y_0)\) используется формула \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\).
- Перед вычислением приведите уравнение прямой к общему виду и не забудьте модуль.