Переход от дробной степени к корню
Степень с дробным показателем можно записать через арифметический корень: знаменатель показателя становится показателем корня, а числитель — степенью подкоренного выражения.
Дробную степень рассматривают как степень с рациональным показателем. Подробнее понятие дробной степени включает случаи, когда показатель записан не только в виде правильной дроби. Обычно дробь \(\frac{m}{n}\) считают несократимой, а \(n\) называют показателем корня.
Можно использовать и равносильную запись \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m\), если корень \(\sqrt[n]{a}\) существует в рассматриваемых действительных числах. При чётном \(n\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным; при нечётном \(n\) корень существует для любого действительного числа.
Преобразуем \(27^{\frac{2}{3}}\). Знаменатель дроби становится показателем корня, а числитель — степенью под корнем: \(27^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{27^2}=\sqrt[3]{729}=9\). Можно вычислить и так: \((\sqrt[3]{27})^2=3^2=9\).
Нельзя считать, что \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[m]{a^n}\). Числитель и знаменатель меняются ролями только в записи показателя: знаменатель задаёт индекс корня, а числитель — степень.
Как записать \(16^{\frac{3}{4}}\) через корень?
Главное
- В \(a^{\frac{m}{n}}\) знаменатель \(n\) становится показателем корня, а числитель \(m\) — степенью под корнем.
- Основная формула: \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\).
- При чётном показателе корня необходимо учитывать условие существования арифметического корня.