Задание № 13 · ОГЭ

Общие делители чисел

Как определить числа, которые делят каждое из данных чисел

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Общие делители нескольких чисел — это числа, на которые каждое из данных чисел делится без остатка. Их удобно находить с помощью разложения на простые множители: общий делитель может содержать только те простые множители, которые есть во всех разложениях.

Общим делителем чисел \(a\) и \(b\) называют натуральное число \(d\), которое одновременно делит и \(a\), и \(b\): \(a\mathbin{:}d\) и \(b\mathbin{:}d\) — целые числа без остатка. Для нескольких чисел условие аналогично: делитель должен делить каждое из них.

Поиск общих делителей по разложениям

Сначала каждое число раскладывают на простые множители. Затем выбирают простые множители, которые встречаются во всех разложениях, и для каждого такого простого берут наименьшую степень вхождения. Перемножая выбранные множители в разных сочетаниях, получают все общие делители.

\[a=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots,\qquad b=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdots\]

Общие делители имеют вид \(p_1^{\gamma_1}\cdot p_2^{\gamma_2}\cdots\), где для каждого общего простого множителя \(0\le\gamma_i\le\min(\alpha_i,\beta_i)\). В частности, \(1\) всегда является общим делителем натуральных чисел.

№

Пример

Найдём общие делители чисел \(60\) и \(90\). Разложения: \(60=2^2\cdot3\cdot5\), \(90=2\cdot3^2\cdot5\). Общая часть — \(2\cdot3\cdot5\). Выбирая или не выбирая каждый из этих множителей, получаем: \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\), \(30\). Значит, это все общие делители чисел \(60\) и \(90\).

Не путайте

Общий делитель и общее кратное — разные понятия. Общий делитель меньше или равен каждому из исходных чисел, а общее кратное делится на каждое из них и обычно больше исходных чисел. Самый большой общий делитель называется наибольшим общим делителем.

Проверьте себя

Какие числа являются общими делителями \(18\) и \(24\)?

Главное за минуту

Главное

Общий делитель одновременно делит каждое из данных чисел без остатка.
Для поиска по разложениям берут только общие простые множители и не превосходящие их наименьшие степени.
Все общие делители получают перемножением выбранных общих простых множителей; число \(1\) всегда входит в список.