Задания № 18, 19 · ОГЭ

Описанный четырехугольник

Четырехугольник, внутри которого можно провести окружность, касающуюся всех его сторон

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, в который можно вписать окружность: окружность касается каждой из его четырех сторон. Для такого четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны.

Описанный четырехугольникНазвание связано с тем, что окружность вписана внутрь четырехугольника, а сам четырехугольник описан около окружности.

Описанным называется четырехугольник, все стороны которого являются касательными к одной окружности. Эта окружность называется вписанной в четырехугольник, а ее центр равноудален от всех четырех сторон. Свойство основано на равенстве отрезков касательных, проведенных из одной точки.

Сначала полезно повторить, что такое четырехугольник и касательная к окружности. В отличие от вписанной окружности треугольника, здесь окружность должна касаться не трех, а четырех сторон.

Основное свойство

Пусть стороны описанного четырехугольника \(ABCD\) имеют длины \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) соответственно. Тогда сумма длин противоположных сторон равна: сумма сторон \(AB\) и \(CD\) равна сумме сторон \(BC\) и \(AD\).

\[AB+CD=BC+AD\]1

Почему это верно: из одной вершины к окружности можно провести две касательные, и их отрезки до точек касания равны. Обозначив соответствующие отрезки около вершин, можно представить каждую сторону как сумму двух таких отрезков. При сложении противоположных сторон каждый отрезок встречается один раз.

№

Пример

У описанного четырехугольника три стороны равны \(AB=7\) см, \(BC=4\) см и \(CD=6\) см. Найдем четвертую сторону: \(AB+CD=BC+AD\), поэтому \(7+6=4+AD\) и \(AD=9\) см.

Не путайте

Описанный четырехугольник не то же самое, что вписанный четырехугольник. У описанного окружность касается всех сторон. У вписанного все вершины лежат на окружности. Для вписанного четырехугольника главное свойство связано с суммой противоположных углов, а не сторон.

Проверьте себя

У описанного четырехугольника стороны равны \(5\), \(8\), \(11\) и \(x\) см. Если \(5\) и \(11\) — противоположные стороны, чему равна \(x\)?

Главное за минуту

Главное

Описанный четырехугольник имеет окружность, касающуюся всех четырех сторон.
Для его сторон выполняется равенство \(AB+CD=BC+AD\).
Не путайте его с вписанным четырехугольником: у того на окружности лежат вершины.