Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине дуги окружности, на которую он опирается. Это правило позволяет находить углы в задачах, где прямая касается окружности, а хорда выходит из точки касания.
Теорема и формула
Пусть прямая \(l\) касается окружности в точке \(A\), а \(AB\) — хорда. Тогда угол между касательной \(l\) и хордой \(AB\) равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу \(AB\). Поэтому для применения теоремы полезно вспомнить вписанный угол и связь между хордой и дугой.
Здесь \(m(\overset{\frown}{AB})\) — градусная мера соответствующей дуги \(AB\). Если известен вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, то угол между касательной и хордой равен этому вписанному углу.
Берут дугу, расположенную внутри рассматриваемого угла между касательной и хордой. Для другой дуги получится дополнительный угол: его величина равна \(180^\circ\) минус найденный угол.
Касательная в точке \(A\) образует с хордой \(AB\) угол \(35^\circ\). Тогда дуга \(AB\), лежащая внутри этого угла, имеет меру \(2\cdot35^\circ=70^\circ\). Если нужно найти вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, он также равен \(35^\circ\).
Угол между касательной и хордой не равен половине всей окружности или произвольной дуги. Нужно использовать именно дугу, на которую опирается угол. Также не следует путать касательную с хордой: касательная к окружности имеет с окружностью одну общую точку, а хорда соединяет две точки окружности.
Касательная и хорда образуют угол \(48^\circ\). Какова мера соответствующей дуги?
Главное
- Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри угла.
- Он также равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Для другой дуги используют дополнительный угол: \(180^\circ-\alpha\).