ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задание № 21 · ЕГЭ

Целые решения системы

Как выбрать из решений системы только целые числа
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Целое решение системы — это такое решение, в котором каждая переменная принимает целое значение. Сначала находят все решения системы уравнений и неравенств, а затем отбирают среди них только целые числа.

Целое решение системыСлово «целое» означает число без дробной части: например, $-3$, $0$, $7$ — целые числа, а $\frac{1}{2}$ и $2{,}4$ — нет.
Решение системы называется целым, если все значения её переменных принадлежат множеству целых чисел \(\mathbb{Z}\): \(x,y,\ldots\in\mathbb{Z}\). Если система имеет одну переменную, достаточно, чтобы целым было значение этой переменной.

Как находить целые решения

Алгоритм зависит от вида системы. Решите систему обычным способом: преобразуйте неравенства, постройте промежутки или найдите точки пересечения графиков. Полученное множество решений пересеките с множеством целых чисел. При необходимости отдельно проверьте каждое найденное число в исходной системе.

\[\text{Целые решения}=\text{множество решений системы}\cap\mathbb{Z}^n\]
№
Пример

Пусть требуется найти целые решения неравенства \(-2{,}5\le x<3\). Все действительные решения образуют промежуток \([-2{,}5;3)\). Целые числа внутри него: \(-2,-1,0,1,2\). Значит, целые решения — \(x\in\{-2,-1,0,1,2\}\).

!
Не путайте

Целое решение — не то же самое, что наименьшее целое решение или наибольшее целое решение. Первое понятие описывает все подходящие целые значения, а наименьшее и наибольшее — только одно значение, если оно существует.

Проверьте себя

Какие целые решения имеет система \(\begin{cases}x\ge -1{,}2\\x<2\end{cases}\)?

Главное за минуту

Главное

  • Целое решение системы — решение, в котором все переменные являются целыми числами.
  • После решения системы пересеките полученное множество с \(\mathbb{Z}\) или с \(\mathbb{Z}^n\).
  • Проверяйте границы: строгие неравенства не включают граничное значение, а нестрогие включают.