ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 6, 21 · ЕГЭ

Наименьшее целое решение

Как найти минимальное целое число среди решений неравенства
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Наименьшее целое решение — это самое маленькое целое число, которое удовлетворяет неравенству. Чтобы его найти, сначала определяют множество решений, затем выбирают из него целые числа и сравнивают их.

Наименьшее целое решение«Минимальный» означает «наименьший».
Наименьшим целым решением неравенства называется минимальный элемент множества его целых решений. Иными словами, это такое целое число \(x_0\), которое является решением и не превышает любое другое целое решение: \(x_0\le x\) для всех целых решений \(x\).

Как находить

Решите неравенство обычным способом: перенесите слагаемые, разложите выражение на множители или используйте свойства функций. Полученный промежуток отметьте на числовой прямой. Затем найдите первый целый пункт, входящий в этот промежуток.

\[x_0=\min\{x\in\mathbb{Z}\mid x\text{ удовлетворяет неравенству}\}\]1
  1. Решить неравенство и записать ответ в виде промежутка или объединения промежутков.
  2. Определить, какие целые числа принадлежат множеству решений.
  3. Выбрать среди них самое маленькое число.
№
Пример

Найдём наименьшее целое решение неравенства \(2x-3>5\). Получаем \(2x>8\), значит, \(x>4\). Целые решения: \(5,6,7,\ldots\). Поэтому наименьшее целое решение — \(5\).

!
Не путайте

Наименьшее целое решение — не всегда левая граница промежутка. Например, при \(x\ge 2{,}4\) левая граница равна \(2{,}4\), но она не является целым числом; первое целое решение — \(3\). Если граница целая и входит в промежуток, она может быть ответом: при \(x\ge 2\) наименьшее целое решение равно \(2\).

Проверьте себя

Каково наименьшее целое решение неравенства \(3x+1\ge 10\)?

Если множество решений начинается с промежутка вида \(x>a\), наименьшее целое решение — первое целое число, большее \(a\). Для условия \(x\ge a\) оно является первым целым числом, не меньшим \(a\). Если решений нет или множество целых решений не ограничено снизу, наименьшего целого решения не существует. Понятие рассматривается как частный случай целых решений неравенства; для противоположной задачи используют наибольшее целое решение.

Главное за минуту

Главное

  • Сначала решают неравенство, затем рассматривают только целые числа из множества решений.
  • Наименьшее целое решение — минимальное целое число, входящее в ответ.
  • При открытой нецелой границе берут первое целое число правее неё; при закрытой целой границе сама граница подходит.