Формула Байеса
Формула Байеса позволяет найти вероятность причины после того, как стало известно, что некоторое событие произошло. Иными словами, она отвечает на вопрос: «Какова вероятность гипотезы, если результат эксперимента уже наблюдается?»
Сначала выбирают несколько несовместных гипотез \(H_1,H_2,\ldots,H_n\), которые вместе описывают все возможные причины события \(A\). Вероятности этих гипотез обычно известны заранее. Затем используют [[total-probability:формулу полной вероятности]], чтобы найти вероятность самого события \(A\).
Здесь \(P(H_i\mid A)\) — искомая вероятность причины при условии события; \(P(H_i)\) — первоначальная вероятность причины; \(P(A\mid H_i)\) — вероятность события при этой причине; \(P(A)\) — вероятность события. Запись \(P(H_i\mid A)\) относится к [[conditional-probability:условной вероятности]].
На заводе 60% деталей выпускает первый станок, а 40% — второй. Первый даёт 2% бракованных деталей, второй — 5%. Найдём вероятность, что случайно выбранная бракованная деталь изготовлена вторым станком. По формуле полной вероятности: \(P(A)=0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05=0{,}032\). Тогда \(P(H_2\mid A)=\frac{0{,}4\cdot0{,}05}{0{,}032}=0{,}625\). Ответ: 62,5%.
\(P(H_i\mid A)\) и \(P(A\mid H_i)\) — разные величины. Первая означает вероятность причины при известном результате, а вторая — вероятность результата при известной причине. Нельзя просто поменять условия местами.
Что означает величина \(P(H\mid A)\)?
Главное
- Формула Байеса находит вероятность причины по уже наступившему событию.
- Используйте \(P(H_i\mid A)=\frac{P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)}{P(A)}\).
- Не путайте условные вероятности \(P(H_i\mid A)\) и \(P(A\mid H_i)\).