Задания № 15, 23 · ЕГЭ

Законы логики

Тождества для упрощения логических выражений

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Законы логики — это тождества, которые позволяют заменять логическое выражение равносильным ему, не изменяя его значение при любых наборах переменных. С их помощью выражения упрощают, раскрывают скобки и подготавливают к решению задач.

Закон логики

Закон логики — равенство двух логических выражений, принимающих одинаковые значения при любых значениях входящих в них переменных. Законы являются основой булевой алгебры.

Основные законы

\[A \land 1 = A,\quad A \lor 0 = A,\quad A \land 0 = 0,\quad A \lor 1 = 1\]

\[A \land A = A,\quad A \lor A = A,\quad \neg(\neg A)=A\]

\[A \land \neg A=0,\quad A \lor \neg A=1\]

Здесь \(\land\) — логическое И, \(\lor\) — логическое ИЛИ, \(\neg\) — отрицание, а \(0\) и \(1\) обозначают ложь и истину. Коммутативность разрешает менять местами операнды: \(A\land B=B\land A\) и \(A\lor B=B\lor A\). Дистрибутивность позволяет раскрывать скобки: \(A\land(B\lor C)=(A\land B)\lor(A\land C)\). Полный набор равенств включает также законы де Моргана, законы поглощения и склеивания.

№

Пример упрощения

Упростим выражение \(A\lor(A\land B)\). По закону поглощения оно равно \(A\). Поэтому при \(A=0\) результат равен 0, а при \(A=1\) — 1, независимо от \(B\). После освоения законов переходите к преобразованию логических выражений.

Не путайте

Закон логики — это тождество, верное при любых значениях переменных. Отдельное равенство, совпавшее только на одном наборе, законом не является. Например, \(A\lor B\) и \(A\land B\) иногда дают одинаковый результат, но не всегда.

Проверка

Во что упрощается выражение \(A\land(A\lor B)\)?

При решении задач важно сначала определить главную операцию и учитывать скобки. Законы логики дополняют логические приёмы решения задач, но не заменяют проверку результата таблицей истинности.

Главное за минуту

Главное

Закон логики — тождество, верное при любых значениях переменных.
Основные операции и законы: И, ИЛИ, отрицание, нуль и единица, идемпотентность, поглощение, дистрибутивность и де Морган.
Законы позволяют преобразовывать выражения, сохраняя их значение.