Закон двойного отрицания
Закон двойного отрицания утверждает: если высказывание отрицать два раза подряд, получится высказывание, равносильное исходному. Это один из базовых законов логики, применяемых при упрощении логических выражений.
Формула закона
Знак \(\equiv\) обозначает логическую равносильность: левая и правая части имеют одинаковые булевы значения при любом значении \(A\). Поэтому закон можно использовать как в прямую сторону, заменяя \(\neg(\neg A)\) на \(A\), так и в обратную — заменяя \(A\) на \(\neg(\neg A)\).
Пусть \(A\): «Число \(x\) является чётным». Тогда \(\neg A\): «Число \(x\) не является чётным», а \(\neg(\neg A)\): «Неверно, что число \(x\) не является чётным». По закону двойного отрицания последнее высказывание равносильно утверждению «Число \(x\) является чётным». В логическом выражении \(\neg(\neg(x \bmod 2 = 0))\) можно сразу оставить \(x \bmod 2 = 0\).
В математической логике двойное отрицание всегда возвращает исходное высказывание: \(\neg\neg A \equiv A\). В разговорной речи фраза вроде «неверно, что он не пришёл» иногда звучит неоднозначно из-за контекста, но при формальном решении задач нужно рассматривать именно логическую структуру.
Как упростить выражение \(\neg(\neg B)\)?
Закон особенно полезен при преобразовании сложных выражений и проверке их равносильности. Например, он помогает убрать лишние скобки с двумя знаками отрицания перед применением других законов булевой алгебры. При построении таблицы истинности обе части равенства будут иметь одинаковый результат для \(A=0\) и \(A=1\).
Главное
- Двойное отрицание высказывания равносильно самому высказыванию: \(\neg(\neg A) \equiv A\).
- При упрощении выражений два последовательных знака отрицания можно удалить.
- Закон применяется к любому логическому высказыванию, в том числе к сложному выражению в скобках.