ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Тапсырмалар № 1, 10 · ОГЭ

Сложение в системах счисления

Как складывать числа столбиком в двоичной, троичной, восьмеричной, десятичной и других системах
6 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Сложение в позиционной системе счисления выполняют почти так же, как в десятичной: складывают цифры соответствующих разрядов справа налево, а при достижении основания системы записывают остаток и переносят единицу в следующий разряд. Перед началом полезно повторить основание системы счисления и устройство позиционной системы счисления.

Основное правило сложения

Пусть числа записаны в системе счисления с основанием \(p\). В этой системе используются цифры от \(0\) до \(p-1\). При сложении двух цифр \(a\) и \(b\) возможен перенос \(c\) из текущего разряда в следующий. Сначала учитывают перенос из предыдущего разряда, затем находят сумму \(s=a+b+c\).

\[s=a+b+c\]

В текущем разряде записывают остаток от деления суммы на основание \(p\), а частное становится переносом:

\[r=s\bmod p,\qquad c_{\text{нов}}=\left\lfloor\frac{s}{p}\right\rfloor\]
D
Перенос

Перенос — это количество целых групп по \(p\) единиц текущего разряда, которое переходит в следующий разряд. Если сумма цифр меньше \(p\), переноса нет. Если сумма не меньше \(p\), из неё вычитают \(p\), а в следующий разряд добавляют \(1\).

T
Правило сложения столбиком

Складывайте цифры справа налево. К каждой паре цифр добавляйте перенос из предыдущего разряда. Если результат меньше основания \(p\), запишите его как цифру. Если результат не меньше \(p\), запишите остаток после деления на \(p\) и перенесите частное в следующий разряд.

Алгоритм по разрядам

Перед вычислением выровняйте числа по правому краю: единицы должны находиться под единицами, цифры \(p\)-ичных разрядов — под разрядами того же веса. Если у одного числа меньше цифр, мысленно допишите слева нули.

  1. Запишите числа одно под другим и выровняйте их по правому краю.
  2. Начните с самого правого разряда.
  3. Сложите цифры этого разряда и перенос, если он был.
  4. Если сумма меньше \(p\), запишите сумму; если сумма не меньше \(p\), запишите остаток и перенесите частное.
  5. Перейдите на один разряд влево и повторяйте действия.
  6. После сложения старшего разряда не забудьте записать оставшийся перенос слева.
ОснованиеДопустимые цифрыКогда возникает перенос при сложении двух цифр без старого переноса
20, 1если сумма не меньше 2
30, 1, 2если сумма не меньше 3
80–7если сумма не меньше 8
100–9если сумма не меньше 10
160–9, A–Fесли сумма не меньше 16

В шестнадцатеричной системе цифры \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) обозначают соответственно числа \(10\), \(11\), \(12\), \(13\), \(14\), \(15\). Например, \(F+1=10_{16}\): в текущем разряде записывают \(0\), а \(1\) переносят в следующий.

Почему появляется перенос

В системе с основанием \(p\) десять, восемь или два единичных объекта текущего разряда образуют одну единицу следующего разряда только в соответствующем количестве \(p\). Например, в двоичной системе \(2\) единицы образуют \(1\) двойку, в восьмеричной \(8\) единиц образуют \(1\) восьмёрку.

\[p\cdot p^k=p^{k+1}\]

Поэтому при сложении в разряде \(k\), имеющем вес \(p^k\), каждая полная группа из \(p\) единиц превращается в единицу разряда \(k+1\). Этот переход подробно рассматривается на странице переход через разряд. Для случая, когда перенос возникает при сложении конкретной пары цифр, пригодится сложение с переносом.

Микропроверка

Чему равна сумма \(2_3+2_3\)?

Разобранный пример в восьмеричной системе

Сложим \(572_8\) и \(346_8\). Основание равно \(8\), поэтому после суммы \(8\) или больше нужно выделить восьмёрки: остаток записать в текущий разряд, а количество восьмёрок перенести в следующий.

№
Пример

Вычислим \(572_8+346_8\) столбиком. Начинаем справа: \(2+6=8\), значит, записываем \(0\) и переносим \(1\). Далее \(7+4+1=12_{10}=14_8\): записываем \(4\), переносим \(1\). Наконец, \(5+3+1=9_{10}=11_8\): записываем \(1\), переносим ещё \(1\). Оставшийся перенос становится новой цифрой слева.

1
Складываем цифры разряда единиц: результат равен основанию 8, поэтому в этом разряде остаётся 0.
\(\displaystyle 2+6=8_{10}=10_8\)
2
Переходим к разряду восьмёрок и добавляем перенос 1.
\(\displaystyle 7+4+1=12_{10}=14_8\)
3
Переходим к разряду \(8^2\) и снова учитываем перенос.
\(\displaystyle 5+3+1=9_{10}=11_8\)
4
Записываем цифры, полученные справа налево, и последний перенос слева.
\(\displaystyle \begin{array}{r}572_8\\+346_8\\\hline 1140_8\end{array}\)

Жауабы: \(572_8+346_8=1140_8\). Проверка переводом в десятичную систему: \(572_8=378_{10}\), \(346_8=230_{10}\), сумма равна \(608_{10}\), а \(1140_8=608_{10}\).

Частые ошибки

!
На что обратить внимание

Не записывайте недопустимые цифры, не забывайте перенос, учитывайте перенос в следующем разряде, выравнивайте числа по правому краю и обязательно записывайте последний перенос слева.

Q
Жылдам тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин3 вопроса
Вопрос 1 / 3
Вопрос 1 из 3 · Перенос
Чему равно \(1_2+1_2\)?
Главное за минуту

Главное

  • В системе с основанием \(p\) разрешены цифры от \(0\) до \(p-1\).
  • Складывайте справа налево, выравнивая числа по правому краю.
  • К сумме цифр добавляйте перенос из предыдущего разряда.
  • Остаток от деления суммы на \(p\) записывайте в текущий разряд, частное переносите в следующий.
  • Последний перенос обязательно записывайте слева от старшей цифры.