Умножение столбиком в системе счисления
Умножение столбиком в системе счисления — это алгоритм поразрядного умножения, в котором перенос выполняется при достижении основания системы. Правила похожи на десятичные, но вместо 10 используется основание \(b\).
Правило выполнения
Сначала записывают множители один под другим, выравнивая их по правому краю. Затем каждую цифру верхнего множителя умножают на все цифры нижнего, начиная с младшего разряда. После каждого умножения учитывают перенос: полученное число представляют как \(qb+r\), где \(r\) — записываемая цифра, а \(q\) — перенос. Частичные произведения сдвигают влево на число уже обработанных разрядов и складывают по правилам сложения в системе счисления.
Вычислим \(243_5\cdot13_5\). Умножение на \(3_5\) даёт \(1334_5\), а умножение на \(1_5\) со сдвигом — \(2430_5\). Складываем частичные произведения: \(1334_5+2430_5=4314_5\). Значит, \(243_5\cdot13_5=4314_5\).
Перенос возникает не только при результате, равном основанию. Например, в системе с основанием 5 число 8 записывается как \(13_5\): в текущий разряд идёт 3, а 1 переносится в следующий. Цифра 5 в пятеричной системе недопустима.
Что нужно сделать с результатом \(4\cdot3+2=14\) при умножении в системе счисления с основанием 5?
Для проверки результата можно перевести множители и произведение в десятичную систему или воспользоваться контролем результата перевода. Само умножение является частью общей темы умножение в системах счисления.
Главное
- Умножение выполняют справа налево, как в десятичной системе.
- При каждом разряде число представляют в виде \(qb+r\): \(r\) записывают, \(q\) переносят.
- Все частичные произведения складывают с учётом основания системы.