Решение задач с диаграммами
Диаграммы Венна и круги Эйлера помогают увидеть отношения между множествами: пересечение, объединение, разность и дополнение. В задачах экзамена диаграмма превращает длинное логическое условие в понятный рисунок и последовательность вычислений.
Что показывают диаграммы
Множество — это совокупность объектов, объединённых общим признаком. Например, \(A\) — ученики, изучающие английский язык, а \(B\) — ученики, изучающие немецкий язык. Каждый ученик может входить в одно множество, в оба множества или ни в одно из них.
Диаграмма Венна показывает все возможные области пересечения множеств. Круги Эйлера показывают отношения между множествами, которые действительно заданы условием: включение, пересечение или отсутствие общих элементов. На практике в школьных задачах эти названия часто используют почти как синонимы.
- \(A \cup B\) — объединение множеств: элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.
- \(A \cap B\) — пересечение множеств: элементы, принадлежащие одновременно \(A\) и \(B\).
- \(A \setminus B\) — разность множеств: элементы \(A\), не входящие в \(B\).
- \(\overline{A}\) — дополнение множества: элементы универсального множества, не входящие в \(A\).
Перевод условия на язык множеств
Сначала выделите признаки объектов и обозначьте их буквами. Затем замените слова условия операциями над множествами. Это продолжает приём, разобранный на странице «Перевод условий в операции множеств».
| Слова в условии | Запись | Что закрашивать на диаграмме |
|---|---|---|
| и одновременно | \(A \cap B\) | общую часть кругов |
| или хотя бы одно | \(A \cup B\) | оба круга целиком |
| только \(A\) | \(A \setminus B\) | часть \(A\) вне \(B\) |
| не \(A\) | \(\overline{A}\) | всё вне круга \(A\) |
| ни \(A\), ни \(B\) | \(\overline{A \cup B}\) | область вне обоих кругов |
Если в выражении нет скобок, сначала выполняют отрицание, затем пересечение, затем объединение. Но в решении лучше ставить скобки явно: выражения \(A\cup B\cap C\) и \((A\cup B)\cap C\) имеют разный смысл.
Логические связки переводятся так: «и» соответствует пересечению, «или» — объединению, «не» — дополнению. Поэтому логическое выражение можно записать как формулу логики, а затем изобразить его область на диаграмме.
Какая область соответствует условию «ученик изучает английский или немецкий, но не оба языка»?
Алгоритм решения задач
- Определите универсальное множество: кто или что рассматривается в задаче.
- Выделите признаки и обозначьте соответствующие множества буквами.
- Нарисуйте прямоугольник универсального множества и круги или другие замкнутые области.
- Разбейте рисунок на отдельные области: например, только \(A\), только \(B\), \(A\cap B\) и область вне обоих кругов.
- Переведите каждую часть условия в формулу и внесите известные количества.
- Составьте уравнение, найдите неизвестное и проверьте, не получилось ли отрицательное или слишком большое число.
Для двух множеств заранее выпишите четыре непересекающиеся области: \(A\setminus B\), \(A\cap B\), \(B\setminus A\) и \(\overline{A\cup B}\). Их объединение даёт всё универсальное множество, поэтому их количества можно складывать.
Разобранный пример
В классе 28 учеников. Английский язык изучают 17 учеников, немецкий — 12 учеников, оба языка — 6 учеников. Сколько учеников не изучают ни английский, ни немецкий?
Обозначим \(A\) — изучающие английский язык, \(B\) — изучающие немецкий язык. Требуется найти область вне обоих кругов, то есть дополнение объединения.
Показать краткое решение Ответ
Ответ: 5 учеников. Формула объединения учитывает пересечение только один раз, после чего из общего числа вычитается объединение.
Для двух множеств количество элементов в объединении равно сумме количеств элементов множеств минус количество элементов пересечения. Вычитание необходимо, потому что элементы пересечения при сложении учитываются дважды.
Логические условия и проверка диаграммы
Иногда задача сформулирована не через множества, а через высказывания: «число делится на 2 и на 3», «число делится на 2 или на 3», «число не делится на 5». Каждому высказыванию можно сопоставить множество подходящих объектов. Тогда выражение «\(A\) и \(B\)» становится \(A\cap B\), а «не \(A\)» — \(\overline A\). Знак отрицания и его смысл подробно рассматриваются на странице «Знак отрицания».
Для трёх множеств появляется до восьми внутренних областей. Не пытайтесь сразу считать весь рисунок целиком: сначала заполняйте самые маленькие области — тройное пересечение, затем области пересечения двух множеств без третьего, затем части только одного множества и внешнюю область.
1. Считать \(|A|+|B|\) без вычитания пересечения. 2. Понимать «или» как «только одно», хотя обычно это включающее «или»: подходят и элементы из обоих множеств. 3. Забывать про универсальное множество при нахождении дополнения. 4. Закрашивать весь круг вместо части «только \(A\).» 5. Использовать данные о пересечении дважды. После решения сложите все непересекающиеся области — сумма должна совпасть с общим количеством объектов.
Быстрая проверка результата
Если известны количества двух множеств и их пересечения, полезно проверить ограничения: \(|A\cap B|\le |A|\), \(|A\cap B|\le |B|\), а \(|A\cup B|\) не может быть больше универсального множества. Для трёх множеств каждая область должна иметь неотрицательное количество элементов. Такой контроль часто обнаруживает ошибку в переводе условия.
Итоговый мини-тест
Главное
- Диаграмма Венна показывает области объединения, пересечения, разности и дополнения множеств.
- Слова «и», «или», «не» переводятся соответственно в \(\cap\), \(\cup\) и дополнение.
- Для двух множеств используется формула \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
- Решение удобно строить через четыре области: только \(A\), пересечение, только \(B\) и область вне обоих множеств.
- После вычислений проверяйте сумму всех непересекающихся областей и границы полученных чисел.