Объединение множеств
Объединение множеств — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из рассматриваемых множеств. На странице о множествах объединение обозначают знаком \(\cup\) и часто изображают с помощью кругов Эйлера или диаграммы Венна.
Союз «или» здесь понимается включительно: элемент подходит, если он находится только в \(A\), только в \(B\) или сразу в обоих множествах. Каждый элемент записывают в объединении только один раз.
Пусть \(A=\{1,2,3\}\), а \(B=\{3,4,5\}\). Тогда \(A \cup B=\{1,2,3,4,5\}\). Число \(3\) входит в оба множества, но в объединении записывается один раз. На диаграмме Венна объединению соответствует вся область внутри обоих кругов.
Каково объединение множеств \(C=\{a,b\}\) и \(D=\{b,c,d\}\)?
Пересечение множеств \(A \cap B\) содержит только общие элементы, а объединение \(A \cup B\) — все элементы хотя бы из одного множества. На круговой схеме для объединения закрашивают оба круга вместе с их общей частью.
Объединение обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: порядок множеств не важен, как и расстановка скобок. Поэтому \(A \cup B=B \cup A\), а \((A \cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\). Эти свойства удобны при решении логических задач и работе с диаграммами Венна.
Главное
- \(A \cup B\) содержит все элементы, принадлежащие \(A\), \(B\) или обоим множествам.
- Повторяющиеся элементы записывают один раз.
- Объединение не следует путать с пересечением \(A \cap B\), где остаются только общие элементы.