Множество и подмножество
Множество — это набор объектов, объединённых общим признаком, а подмножество — множество, все элементы которого входят в другое множество. Эти понятия нужны, чтобы читать диаграммы Венна и круги Эйлера и решать задачи графическим способом.
Как задают множество
Множество можно задать перечислением элементов: \(A=\{1,2,3\}\). Порядок элементов и повторение записей значения не имеют: \(\{1,2,3\}=\{3,2,1\}\). Множество также задают описанием свойства, например \(B=\{x\mid x\) — чётное натуральное число, \(x<10\}\). Важно отличать элемент от множества: \(1\in A\), но запись \(\{1\}\in A\) неверна, если одноэлементное множество не указано среди элементов \(A\).
Любое множество является подмножеством самого себя. Пустое множество \(\varnothing\) является подмножеством любого множества. На диаграмме подмножество изображают кругом внутри другого круга. При пересечении множеств общая часть показывает элементы, принадлежащие обоим множествам; подробнее это рассматривается на странице пересечения множеств.
Пусть \(A=\{2,4\}\), а \(B=\{1,2,3,4\}\). Каждый элемент \(A\) встречается в \(B\), поэтому \(A\subseteq B\). При этом \(5\notin B\), а \(\{2\}\) — подмножество \(A\), потому что единственный элемент 2 входит в \(A\).
Знак \(\in\) связывает элемент и множество: \(2\in A\). Знак \(\subseteq\) связывает два множества: \(\{2\}\subseteq A\). Поэтому нельзя без дополнительного смысла заменять \(2\in A\) на \(2\subseteq A\).
Пусть \(C=\{a,b,c\}\). Какая запись верна?
Главное
- Множество состоит из элементов, объединённых общим признаком.
- \(A\subseteq B\) означает: каждый элемент \(A\) принадлежит \(B\).
- \(\in\) используют для элемента, а \(\subseteq\) — для подмножеств; это различие важно при чтении диаграмм.