Тапсырма № 23 · ЕГЭ

Симметрическая разность множеств

Элементы, принадлежащие ровно одному из двух множеств

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Симметрическая разность множеств — это множество элементов, которые принадлежат ровно одному из двух исходных множеств, но не принадлежат им обоим одновременно.

Симметрической разностью множеств \(A\) и \(B\) называется множество \(A \triangle B\), состоящее из элементов, принадлежащих \(A\) немесе \(B\), но не обоим сразу. Иными словами, элемент входит в результат, если он входит только в одно из исходных множеств.

Формула

Для получения симметрической разности используют уже знакомые операции над множествами: объединение и пересечение. Также можно рассмотреть элементы, оставшиеся после удаления общей части.

\[A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\]

Здесь \(A \setminus B\) — элементы, которые принадлежат \(A\), но не принадлежат \(B\), а \(B \setminus A\) — элементы, которые принадлежат \(B\), но не принадлежат \(A\). В терминах логики симметрическая разность соответствует операции исключающего «ИЛИ»: истина получается, когда истинно ровно одно из двух условий.

№

Пример

Пусть \(A=\{1,2,3,4\}\) и \(B=\{3,4,5\}\). Общие элементы \(3\) и \(4\) удаляются, а элементы \(1,2\) остаются только в \(A\), элемент \(5\) — только в \(B\). Поэтому \(A \triangle B=\{1,2,5\}\).

Не путайте с объединением

Объединение множеств включает все элементы хотя бы одного множества, в том числе общие. Симметрическая разность, наоборот, исключает элементы, принадлежащие обоим множествам. Если \(A=B\), то \(A \triangle B=\varnothing\).

Проверьте себя

Пусть \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,3,4\}\). Чему равно \(A \triangle B\)?

Главное за минуту

Главное

\(A \triangle B\) содержит элементы, принадлежащие ровно одному из множеств \(A\) и \(B\).
Основные формулы: \(A \triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)\).
Симметрическая разность соответствует исключающему «ИЛИ» и не содержит общих элементов.