Период перевода дроби
Период перевода дроби — это повторяющаяся последовательность цифр, которая появляется при переводе конечной дроби из одной системы счисления в другую. Она возникает потому, что при последовательном умножении дробной части на основание системы остатки рано или поздно повторяются.
Перевод выполняют по алгоритму, описанному на странице перевода дробей умножением: дробную часть умножают на основание новой системы, а целую часть результата записывают очередной цифрой. Затем берут новую дробную часть и повторяют действие.
Дробная часть не может принимать бесконечно много различных значений: при переводе появляются остатки от 0 до \(b-1\), где \(b\) — основание системы. Если остаток стал равен нулю, цифры заканчиваются. Если встретился остаток, который уже был раньше, дальнейшие действия повторяются — появляется периодическая дробь, являющаяся частным случаем периодической дроби.
Когда период появляется
Рассмотрим дробь \(\frac{a}{c}\) после сокращения и систему с основанием \(b\). Конечная запись возможна только тогда, когда знаменатель \(c\) не содержит простых множителей, кроме тех, которые входят в разложение основания \(b\). Если есть другой множитель, остаток не станет нулём, а повторится, поэтому возникнет период.
Умножаем дробную часть на \(2\): \(\frac13\cdot2=\frac23\) — первая цифра 0; затем \(\frac23\cdot2=\frac43\) — цифра 1, новая дробная часть \(\frac13\). Остаток \(\frac13\) повторился, поэтому цифры 01 повторяются: \(\frac13_{10}=0,(01)_2\). Знаменатель 3 не является множителем степени 2, значит конечной двоичной записи быть не может.
Период — это только повторяющийся блок цифр, например 01 в записи \(0,(01)_2\). Вся запись \(0,(01)_2\) называется периодической дробью, а не периодом.
Почему дробь \(\frac{1}{4}\) имеет конечную запись в двоичной системе?
Главное
- Период появляется, когда при переводе повторяется ненулевой остаток.
- После сокращения дроби конечная запись в системе с основанием \(b\) возможна, если знаменатель делит некоторую степень \(b\).
- Период — повторяющийся блок цифр, а вся запись с ним называется периодической дробью.