Расчёт крутизны склона
Крутизну склона можно определить по двум величинам: превышению одной точки над другой и расстоянию между ними по горизонтали. В зависимости от условия задания находят уклон в долях или процентах либо угол наклона склона в градусах.
Основные величины и схема
Рассмотрим две точки склона: \(A\) и \(B\). Пусть точка \(B\) расположена выше точки \(A\). Разность их абсолютных высот называется превышением. Горизонтальное расстояние между точками называют заложением. Наклонная желі \(AB\) — фактическое расстояние по поверхности склона.
Уклон склона — отношение превышения \(h\) к горизонтальному расстоянию \(d\) между точками. Он показывает, насколько изменяется высота при перемещении на единицу расстояния по горизонтали.
Угол наклона склона — угол между наклонной линией склона и её горизонтальной проекцией. Обычно обозначается буквой \(\alpha\) и выражается в градусах.
Уклон: доля и проценты
Чтобы найти уклон, превышение делят на заложение. Важно, чтобы обе величины были выражены в одинаковых единицах: например, обе в метрах или обе в километрах. Сам уклон — безразмерная величина.
Если уклон требуется выразить в процентах, результат умножают на \(100\%\).
Например, уклон \(0{,}04\) означает, что на каждые \(100\) м по горизонтали высота увеличивается на \(4\) м. Поэтому тот же уклон можно записать как \(4\%\) или как отношение \(1:25\).
Если уклон дан отношением \(1:n\), это означает \(i=\frac{1}{n}\). В процентах такой уклон равен \(\frac{100}{n}\%\). Обратный переход: из процентов в долю нужно разделить число процентов на \(100\).
Превышение между точками равно \(12\) м, заложение — \(300\) м. Каков уклон в процентах?
Угол наклона по уклону
Из прямоугольного треугольника на схеме видно: против угла \(\alpha\) находится превышение \(h\), а прилежащий катет — заложение \(d\). Поэтому тангенс угла равен отношению превышения к заложению, то есть уклону.
Чтобы найти угол, используют обратную функцию — арктангенс. На калькуляторе должен быть выбран режим измерения углов в градусах, обозначенный как DEG.
При небольших уклонах угол в градусах приблизительно равен \(57{,}3\cdot i\), если \(i\) записан десятичной дробью. Например, при \(i=0{,}1\) угол примерно \(5{,}7^\circ\). Для экзаменационного ответа используйте точное вычисление через тангенс или таблицы.
Разобранный пример
Точки \(A\) и \(B\) расположены на высотах \(145\) м и \(205\) м. Расстояние между ними по горизонтали равно \(1{,}2\) км. Определим превышение, уклон в процентах и угол наклона склона.
\(H_A=145\) м; \(H_B=205\) м; \(d=1{,}2\) км. Требуется найти \(h\), \(i_{\%}\) и \(\alpha\).
Превышение равно \(60\) м, уклон — \(5\%\), угол наклона — примерно \(2{,}9^\circ\).
Как выполнять тапсырмалар по карте
В картографических заданиях расстояние между точками часто измеряют по карте, а затем переводят по масштабу. Если точки находятся на горизонталях, их высоты берут с карты. Если точка расположена между горизонталями, сначала определяют её высоту методом интерполяции высоты точки. Превышение между двумя точками находят по правилу определения превышения.
- Определите высоты обеих точек и установите, какая точка выше.
- Вычислите превышение \(h\) как модуль разности высот.
- Измерьте расстояние по карте и переведите его в действительное расстояние по масштабу.
- Если нужен уклон, разделите \(h\) на заложение \(d\).
- Если нужен ответ в процентах, умножьте полученную долю на \(100\%\).
- Если нужен угол, вычислите \(\alpha=\arctan(h/d)\) и округлите результат по условию.
Не путайте заложение с длиной линии склона. В школьных задачах уклон обычно считают по горизонтальному расстоянию. Если в условии прямо дана длина склона \(l\), а не заложение, сначала можно найти заложение из прямоугольного треугольника: \(d=\sqrt{l^2-h^2}\).
1. Не переводят километры в метры и получают неверный уклон. 2. Делят заложение на превышение: это обратная величина, а не уклон. 3. Забывают умножить долю на \(100\%\). 4. Используют длину склона вместо горизонтального расстояния. 5. На калькуляторе оставляют режим RAD и получают угол в радианах. 6. Теряют знак при вычислении превышения: для крутизны обычно используют положительное значение \(|H_B-H_A|\).
Связь с профилем и точностью измерений
При построении профиля сначала наносят высоты точек с учётом вертикального масштаба профиля, а расстояния откладывают по горизонтальному масштабу профиля. Если масштаб по вертикали увеличен, склон на рисунке будет казаться круче, чем в действительности. Поэтому уклон вычисляют по исходным значениям высоты и заложения, а не измеряют углом на искажённом профиле.
Точность ответа зависит от точности исходных данных. Если расстояние измерено линейкой по карте приблизительно, не следует записывать слишком много знаков после запятой. Правила округления определяются условием задания; если они не указаны, обычно достаточно целых процентов или десятых долей градуса.
Главное
- Превышение: \(h=|H_2-H_1|\).
- Уклон в долях: \(i=\frac{h}{d}\); в процентах: \(i_{\%}=\frac{h}{d}\cdot100\%\).
- Угол наклона: \(\alpha=\arctan\left(\frac{h}{d}\right)\).
- В формулах \(d\) — горизонтальное расстояние, или заложение, а не длина желілер склона.
- Перед расчётом приведите высоты и расстояние к одинаковым единицам и проверьте режим DEG на калькуляторе.