Расчёт плотности смеси жидкостей
Чтобы рассчитать плотность смеси жидкостей, находят общую массу и объём смеси, а затем делят массу на объём. Главная сложность экзаменационных задач — учесть, изменился ли объём после смешивания: он может быть равен сумме исходных объёмов или уменьшиться на заданную величину.
Основные понятия и физический смысл
Плотность показывает, какая масса вещества приходится на единицу объёма. Для каждой жидкости используют обозначение \(\rho\), массу обозначают \(m\), а объём — \(V\). Если известны плотность и объём жидкости, её массу можно найти без взвешивания.
Плотность смеси — это отношение общей массы всех компонентов к объёму, который занимает смесь: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\). Это не обычное среднее арифметическое плотностей компонентов.
Общая масса смеси всегда равна сумме масс компонентов, если при смешивании не происходит химическая реакция и вещества не испаряются: \(m_{\text{см}}=m_1+m_2+\ldots\). Объём смеси равен сумме исходных объёмов только тогда, когда в условии сказано, что объём не изменился.
Для каждого компонента сначала применяют формулу \(m=\rho V\). Поэтому при смешивании двух жидкостей расчёт обычно строится так: найти \(m_1\) и \(m_2\), сложить их, определить конечный объём, затем вычислить плотность смеси. Подробные задачи, в которых отдельно находят массу и объём, разобраны также на странице «Плотность смеси».
Алгоритм решения задач
Перед вычислениями приведите все величины к одной системе единиц. Если плотность дана в \(\text{г/см}^3\), объём удобно брать в \(\text{см}^3\), а массу — в граммах. Если плотность дана в \(\text{кг/м}^3\), используйте кубические метры и килограммы.
- Запишите плотности и объёмы всех жидкостей: \(\rho_1\), \(V_1\), \(\rho_2\), \(V_2\).
- Найдите массу каждого компонента по формуле \(m_i=\rho_iV_i\).
- Сложите массы: \(m_{\text{см}}=m_1+m_2\).
- Определите конечный объём. При отсутствии изменения объёма \(V_{\text{см}}=V_1+V_2\).
- Если объём уменьшился на \(\Delta V\), используйте \(V_{\text{см}}=V_1+V_2-\Delta V\).
- Вычислите плотность смеси и проверьте, имеет ли ответ разумное значение.
Если объёмы не изменяются, можно сразу подставить массы в общую формулу: \(\rho_{\text{см}}=\frac{\rho_1V_1+\rho_2V_2}{V_1+V_2}\). Но при изменении объёма знаменатель нужно заменить на фактический конечный объём.
В сосуд налили \(100\ \text{см}^3\) воды и \(200\ \text{см}^3\) масла. Объём не изменился. Какая формула верна для плотности смеси?
Изменение объёма при смешивании
В некоторых задачах после смешивания жидкости занимают меньший объём, чем до смешивания. Это может быть связано с тем, что частицы одного вещества заполняют промежутки между частицами другого. Для расчёта не требуется объяснять причину явления: достаточно использовать указанное в условии уменьшение объёма.
Если исходные объёмы равны \(V_1\) и \(V_2\), а объём уменьшился на \(p\%\), сначала найдите сумму исходных объёмов \(V_0=V_1+V_2\). Затем вычислите изменение \(\Delta V=\frac{p}{100}V_0\) и конечный объём \(V_{\text{см}}=V_0-\Delta V\).
При обычном смешивании без реакции масса сохраняется, а объём может измениться. Поэтому в числителе всегда стоит сумма масс, а в знаменателе — именно конечный объём смеси.
Разобранный пример
Смешали \(300\ \text{см}^3\) жидкости плотностью \(0{,}8\ \text{г/см}^3\) и \(200\ \text{см}^3\) жидкости плотностью \(1{,}2\ \text{г/см}^3\). После смешивания объём уменьшился на \(4\%\). Найдите плотность смеси.
Сначала выписываем данные и выбираем единицы: все объёмы выражены в кубических сантиметрах, плотности — в граммах на кубический сантиметр, поэтому масса получится в граммах.
Плотность смеси равна \(1\ \text{г/см}^3\), или \(1000\ \text{кг/м}^3\). Обратите внимание: если бы объём не изменился, плотность была бы \(\frac{480}{500}=0{,}96\ \text{г/см}^3\). Уменьшение объёма увеличило плотность смеси.
Проверка ответа и полезные связи
Если конечный объём равен сумме исходных объёмов, плотность смеси должна находиться между плотностями компонентов. В примере без уменьшения объёма ответ \(0{,}96\ \text{г/см}^3\) лежит между \(0{,}8\) и \(1{,}2\). При заметном уменьшении объёма плотность может стать больше плотности самого плотного компонента — это не ошибка, если объём действительно уменьшился.
Не путайте плотность смеси с средней плотностью тела или системы: во всех случаях используется отношение общей массы к общему объёму, но состав и способ определения объёма могут различаться. Для растворов применяются те же базовые идеи; отдельный алгоритм приведён в материале «Расчёт плотности раствора». При задачах на объёмную долю полезна страница «Объём смеси», а массу удобно повторить по странице «Масса смеси».
1. Делить сумму плотностей на два независимо от объёмов. 2. Складывать плотности с объёмами без умножения \(\rho V\). 3. Использовать \(V_1+V_2\) после того, как в условии указано изменение объёма. 4. Вычитать процент непосредственно из числа, не находя сначала исходный суммарный объём. 5. Смешивать граммы с килограммами или кубические сантиметры с кубическими метрами. 6. Забывать, что при уменьшении объёма масса смеси обычно остаётся прежней.
Quick-test
Проверьте себя
Главное
- Плотность смеси равна отношению общей массы к конечному объёму: \(\rho_{\text{см}}=\frac{m_{\text{см}}}{V_{\text{см}}}\).
- Массу каждого компонента находят по формуле \(m_i=\rho_iV_i\), затем массы складывают.
- Объём складывают напрямую только при отсутствии изменения объёма.
- При уменьшении объёма на \(\Delta V\) используют \(V_{\text{см}}=V_1+V_2-\Delta V\).
- Ответ обязательно проверяют по единицам измерения и физическому смыслу.