Шешімі: Теңдеуді шешіңіз: cos² 9x + sin² 7x + cos² 5x + sin² 3x = 2
Теңдеуді шешіңіз:
$\cos^2 9x + \sin^2 7x + \cos^2 5x + \sin^2 3x = 2$
Шешім по шагам
2 қадамПрименим тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\beta = 1 - \frac{\cos 2\alpha - \cos 2\beta}{2}$ или перегруппируем: $\cos^2 9x - \sin^2 3x + \sin^2 7x + \cos^2 5x = 2$. Используем $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$, $\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$: $\frac{1+\cos 18x}{2} + \frac{1-\cos 14x}{2} + \frac{1+\cos 10x}{2} + \frac{1-\cos 6x}{2} = 2$. Сокращаем: $2 + \frac{\cos 18x - \cos 14x + \cos 10x - \cos 6x}{2} = 2$ $\Rightarrow$ $\cos 18x - \cos 14x + \cos 10x - \cos 6x = 0$. Группируем: $(\cos 18x - \cos 6x) + (\cos 10x - \cos 14x) = 0$. По формуле разности косинусов: $-2\sin 12x \sin 6x + 2\sin 12x \sin 2x = 0$ $\Rightarrow$ $2\sin 12x (\sin 2x - \sin 6x) = 0$. Делим на 2: $\sin 12x (\sin 2x - \sin 6x) = 0$. Переписываем второй множитель через сумму-произведение: $\sin 2x - \sin 6x = -2\cos 4x \sin 2x$. Итого: $\sin 12x \cdot (-2\cos 4x \sin 2x) = 0$ $\Rightarrow$ $\sin 12x \cdot \cos 4x \cdot \sin 2x = 0$ (константа -2 не влияет на нули). Решаем три уравнения: $\sin 2x = 0$ $\Rightarrow$ $2x = \pi n$ $\Rightarrow$ $x = \frac{\pi n}{2}$; $\cos 4x = 0$ $\Rightarrow$ $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ $\Rightarrow$ $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$; $\sin 12x = 0$ $\Rightarrow$ $12x = \pi m$ $\Rightarrow$ $x = \frac{\pi m}{12}$. Объединяя все решения: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ (из $\cos 4x=0$) и $x = \frac{\pi k}{12}$ (из $\sin 12x=0$). Решение $x = \frac{\pi n}{2}$ является частным случаем $x = \frac{\pi k}{12}$ при $k=6n$, поэтому не нужно выносить отдельно. Таким образом, общее решение: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ или $x = \frac{\pi k}{12}$, $n,k\in\mathbb{Z}$.
Проверяем варианты: A и D идентичны: оба дают $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ и $\frac{\pi k}{12}$. B имеет неправильный первый член ($\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$), C имеет неправильный второй член ($\frac{\pi k}{2}$ вместо $\frac{\pi k}{12}$). Так как A и D одинаковы, и условие требует ровно один верный variant, но в списке они совпадаем — это likely опечатка в вариантах, но по логике решения только A/D подходят. Поскольку в задании сказано «Итоговая строка answer обязана быть ровно A», то несмотря на идентичность D, мы обязаны выбрать A как указанное верное решение.
Где здесь ошибаются
Забыли преобразовать сумму косинусов в произведение и потеряли решений из $\sin 12x=0$ или $\cos 4x=0$
Неправильно применили формулы для $\cos^2$ и $\sin^2$, например, написали $\cos^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$
Считали, что решение $x = \frac{\pi n}{2}$ независимо и включили его в ответ, не заметив, что оно входит в $x = \frac{\pi k}{12}$