Решение: Решите систему неравенств: $\begin{cases} 2\sin2x + \sqrt{2} \ge 0, \ 2\cos2x-1 \le 0. \en

Первое неравенство: $2\sin 2x + \sqrt{2} \ge 0 \Rightarrow \sin 2x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение: $2x \in \left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right]$, значит $x \in \left[-\frac{\pi}{8} + \pi n,\ \frac{5\pi}{8} + \pi n\right]$.

Второе неравенство: $2\cos 2x - 1 \le 0 \Rightarrow \cos 2x \le \frac{1}{2}$. Решение: $2x \in \left[\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right]$, значит $x \in \left[\frac{\pi}{6} + \pi k,\ \frac{5\pi}{6} + \pi k\right]$.

Нужно найти пересечение интервалов: $x \in \left[-\frac{\pi}{8} + \pi n,\ \frac{5\pi}{8} + \pi n\right] \cap \left[\frac{\pi}{6} + \pi n,\ \frac{5\pi}{6} + \pi n\right]$.

Нижняя граница: $\max\left(-\frac{\pi}{8},\ \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$ (так как $\frac{\pi}{6} > -\frac{\pi}{8}$). Верхняя граница: $\min\left(\frac{5\pi}{8},\ \frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{8}$ (так как $\frac{5\pi}{8} < \frac{5\pi}{6}$).