Решение: КПД газовой тепловой машины
В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания $1 \to 2$, изохорного охлаждения $2 \to 3$ и адиабатного сжатия $3 \to 1$. Работа газа $A_{12}$ в изобарном процессе в 2 раза больше работы $A'_{31}$, совершённой над газом при адиабатном сжатии. Найдите КПД этой тепловой машины. Масса газа остаётся постоянной.
Циклический процесс на диаграмме $p(V)$. Саму картинку ещё готовим — у остальных задач темы она на месте.
Решение по шагам
6 шаговНа участке $1 \to 2$ газ нагревается при постоянном давлении, поэтому полученное тепло равно сумме изменения внутренней энергии и работы газа:
$$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}$$Для одноатомного идеального газа $\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)$. Так как процесс изобарный, работа газа связана с изменением температуры соотношением $A_{12}=\nu R(T_2-T_1)$.
$$\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}A_{12}$$Следовательно, количество теплоты, полученное газом за цикл, равно:
$$Q_{\text{подв}}=Q_{12}=\dfrac{5}{2}A_{12}$$На участке $2 \to 3$ объём постоянен, поэтому работа газа равна нулю. На участке $3 \to 1$ газ сжимается, и над ним совершается работа $A'_{31}$. Поэтому работа газа за цикл:
$$A_{\text{цикла}}=A_{12}-A'_{31}$$По условию $A_{12}=2A'_{31}$, откуда $A'_{31}=\dfrac{1}{2}A_{12}$. Тогда:
$$A_{\text{цикла}}=A_{12}-\dfrac{1}{2}A_{12}=\dfrac{1}{2}A_{12}$$Коэффициент полезного действия тепловой машины равен отношению работы цикла к подведённому теплу:
$$\eta=\dfrac{A_{\text{цикла}}}{Q_{\text{подв}}}=\dfrac{\frac{1}{2}A_{12}}{\frac{5}{2}A_{12}}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$$$\eta=0{,}20=20\%$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают работу на изохорном участке $2 \to 3$, хотя она равна нулю.
Вычитают из работы цикла работу, совершённую газом при сжатии, вместо работы, совершённой над газом.
Используют только изменение внутренней энергии при вычислении теплоты на изобарном участке и не учитывают работу газа.